《震离坎兑》苏领大公主

34、五次根号1048576十万1~1419857十万 5次√10

　　苏家兄妹四人围坐在书房里，桌上摊开一张写满数字的宣纸。苏五震率先开口："我最近一直在琢磨一个有趣的问题——五次根号104857600001到141985700000这个区间内的数，到底藏着什么秘密？"

　　苏六坎推了推眼镜，拿起笔在纸上写写画画："哥，你先把范围说清楚。你是想让我们讨论这个区间内哪些数的五次方根是整数？"

　　"正是。"苏五震点头，"你看，104857600001这个数，乍一看平平无奇，但它其实比104857600000大1。而104857600000恰好是某个整数的五次方。"

　　苏七离凑过来看："让我算算……1048576，这是2的20次方，对吧？2的10次方是1024，2的20次方就是1024的平方，1048576。那104857600000。"

　　苏八兑眼睛一亮："我明白了！2的20次方乘以10的5次方，可以写成(2⁴×10)⁵，也就是(16×10)⁵，等于160⁵！所以160的五次方正好是104857600000。"

　　"没错！"苏五震兴奋地拍了下桌子，"所以104857600001的五次方根就比160稍微大一点点。那上限141985700000呢？"

　　让我想想，17的五次方是多少？17²=289，17³=4913，17⁴=83521，17⁵=1419857！所以141985700000就是170⁵。"

　　"太棒了！"苏七离拍手道，"所以我们要讨论的区间，其实就是从略大于160⁵到正好170⁵的范围。那这个区间内的五次方根是整数的数，就是161⁵、162⁵、163⁵……一直到170⁵，总共10个数。"

　　苏五震补充道："不仅如此，我们还可以估算这些五次方数的大小。比如165⁵，可以近似计算：165²=27225，165⁴=27225²≈7.41×10⁸，再乘以165得到165⁵≈1.22×10¹¹，也就是1220亿左右，确实在我们的区间内。"

　　苏七离突然想到什么："你们说，如果把这个区间画成数轴，这些五次方数的分布是均匀的吗？"

　　"当然不是。"苏六坎摇头，"随着底数增大，相邻两个整数的五次方差值会越来越大。比如161⁵-160⁵和170⁵-169⁵，后者明显更大。我们可以用微积分的思想来理解，函数f(x)=x⁵的导数是5x⁴，x越大，增长越快。"

　　苏八兑总结道："所以这个看似简单的区间，其实蕴含了不少数学知识——五次方的性质、费马小定理、数值估算、函数增长……数学真是无处不在啊。"