《震离坎兑》苏领大公主

10、五次根号1024十万1~3125十万 5次√10

　　苏五震先把一张草稿纸摊开，纸上写着两个数：102400001 和 312500000。

　　“我先把这两个数拆开看。”他一边写一边说，“102400001 等于 1024 乘以 100000，再加 1。而 1024 是 2 的 10 次方，也就是 4 的 5 次方。100000 是 10 的 5 次方。所以 102400000 很接近 40 的五次方。”

　　苏六坎立刻接话：“因为 40 的五次方是 102400000。那 102400001 就是 40 的五次方加 1。所以它的五次根号一定比 40 大一点点，但非常接近 40。”

　　苏七离把笔尖点在 312500000 上：“这个数更漂亮。3125 是 5 的五次方，后面还有五个 0，也就是 100000。100000 是 10 的五次方。所以 312500000 等于 5 的五次方乘以 10 的五次方，也就是 50 的五次方。”

　　苏八兑眼睛一亮：“那就是说，312500000 的五次根号正好是 50。这个区间其实是从略大于 40 到正好 50。”

　　四个人围在一起，把区间写成了：

　　五次根号 102400001 到五次根号 312500000，约等于 40 到 50。

　　苏五震继续算：“如果只看整数部分，五次根号 102400001 的整数部分是 40。因为 40 的五次方是 102400000，比它小 1；而 41 的五次方已经大得多，肯定超过 102400001。所以它只是 40 多一点。”

　　苏六坎问：“能估得更细一点吗？”

　　苏五震，点头：“可以用微分。近似。设 f(x) = x 的五次方，那么 f'(x) = 5x 的四次方。现在 x = 40，增量只有 1。所以五次根号 102400001 大约等于 40 加上 1 除以 5 乘以 40 的四次方。”

　　- 40 的五次方是 102400000，比下界小 1；
　　- 41 的五次方是 115856201；
　　- 42 的五次方是 130691232；
　　- 43 的五次方是 147008443；
　　- 44 的五次方是 164916224；
　　- 45 的五次方是 184528125；
　　- 46 的五次方是 205962976；
　　- 47 的五次方是 229345007；
　　- 48 的五次方是 254803968；
　　- 49 的五次方是 282475249；
　　- 50 的五次方是 312500000。

　　苏八兑补充：“如果问的是‘五次根号落在这个区间里的整数’，那答案就是 41、42、43、44、45、46、47、48、49、50，一共十个。”

　　苏六坎感叹：“这个区间设计得真巧。下界贴着 40 的五次方，上界正好是 50 的五次方。一个加 1，一个不加，像是在考验人能不能看出 1024 和 3125 的来历。”

作者有话说

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