《乾坤巽艮》苏领大公主

42、三次根号8百万1~9.261百万 3次√8百

　　夏日的午后，苏家老宅，的庭院里，葡萄藤爬满了木架，斑驳的阳光透过，叶隙洒在石桌上。苏清乾、苏十坤兄妹俩，和苏月巽、苏风艮姐弟俩围坐一桌，桌上摆着几本，泛黄的数学笔记和，一台旧计算器。

　　“没错。”，苏清乾点头，“201³=8120601，202³=8242408，203³=8365427，204³=8489664，205³=8615125，206³=8741816，207³=8869743，208³=8998912，209³=9129329，210³=9261000。”

　　苏风艮，若有所思：“那这些数有什么特别之处吗？为什么偏偏，是8000001到9261000？”

　　苏月巽，突然拍了，一下桌子：“我知道了！8000001是200³+1，而9261000是210³。这个区间刚好包含了10个，完全立方数，从201³到210³。”

　　“聪明。”，苏清乾赞许地看了，妹妹一眼，“而且你们注意，到没有，200³=8000000，210³=9261000，这中间的，差是1261000。而210-200=10，说明随着，数字增大，相邻立方数之间的差距，也在迅速扩大。”

　　苏十坤，拿起计算器验证：“201³-200³=8120601-8000000=120601，210³-209³=9261000-9129329=131671，确实越来越大了。”

　　苏清乾，想了想：“8500000介于204³=8489664和205³=8615125之间，更接近204³，所以三次根号8500000，大约是204点多。可以用线性插值，来估算，差值是8500000-8489664=10336，而205³-204³=125461，10336÷125461≈0.082，所以大约是204.08。”

　　苏十坤，崇拜地看着哥哥。

　　苏月巽，却提出了一个问题：“那如果不是完全立方数呢？比如三次根号8500000，精确值怎么算？”

　　“那就得用牛顿迭代法了。”苏清乾在纸上写下公式，“设x³=N，构造函数f(x)=x³-N，求f(x)=0的根。迭代公式是x_{n+1}=x_n-(x_n³-N)/(3x_n²)=(2x_n+N/x_n²)/3。比如N=8500000，取初始值x₀=204，迭代一次：x₁=(2×204+8500000/204²)/3=(408+8500000/41616)/3≈(408+204.25)/3≈204.083，已经很接近了。”