《乾坤巽艮》苏领大公主

29、根号19601~22500 √1960

　　午后的阳光透过图书馆高大的落地窗洒在木质长桌上，苏清乾正用铅笔在草稿纸上飞快地演算着，苏十坤捧着一杯热奶茶坐在他对面，苏月巽和苏风艮则刚从书架区抱回几本厚重的数学工具书。

　　苏清乾点头：“没错。而且这个区间，这里，藏着好几个完全平方数，比如19881是，141的平方，20164是142的平方，20449是143的平方……”他一边说一边在，纸上列出来，“一直到22201是149的平方，再加上终点的22500是150的平方。一共十个完全平方数。”

　　苏十坤掰着手指头数：“141到150，确实是十个。那非完全，平方数的平方根呢？都是无理数吧？”

　　“对，它们都是无限不循环小数。”，苏清乾说，“但我们可以估算它们的近似值。比如√19601，因为19601只比，19600大1，所以它的平方根，只比140大一点点，大约是140.0036左右。”

　　“√2≈1.41421，这个数太经典了。”，苏月巽说，“还有21609，是147的平方，我注意到147=3×49=3×7²，所以√21609=147，分解质因数的话21609=3²×7⁴。”

　　苏风艮补充道：“这个区间里还有，不少可以化简的根式。比如√19602=√(2×9801)=√(2×99²)=99√2≈139.993……不对，等等，19602开出来应该比140大才对。”他重新算了一遍，“哦我错了，99√2≈140.007，对的，比140稍大一点。”

　　“而且每段的，长度不一样。”，苏风艮指出，“因为平方函数的增长，速度越来越快，所以相邻两个完全平方数之间的差值是递增的。141²-140²=281，142²-141²=283，143²-142²=285……每段增加2。到150²-149²=299。”

　　苏清乾，恍然大悟：“所以越往后，每个整数区间里包含的整数越多！140到141之间只有280个数（19601到19880），而149到150之间有298个数（22202到22499）。”

　　苏十坤感叹：“原来平方根背后还有这样的规律。那如果我要快速判断一个数是不是完全平方数，是不是可以看它的末位？”

　　“好问题！”苏清乾眼睛一亮，“完全平方数的末位只能是0、1、4、5、6、9，不可能是2、3、7、8。所以这个区间里末位是2、3、7、8的数一定不是完全平方数。”

　　苏月巽接着说：“还有，完全平方数除以4的余数只能是0或1，除以3的余数只能是0或1。这些都可以用来快速筛选。”