《乾坤巽艮》苏领大公主

28、三次根号2197001~2744000 3次√21

　　午后的阳光斜斜地穿过苏家老宅书房的落地窗，在红木书桌上投下一片暖金色的光斑。苏清乾正拿着一支钢笔，在草稿纸上飞快地演算着什么，眉头微蹙，笔尖划过纸面的沙沙声在安静的房间里格外清晰。

　　“哥，你又在算什么呢？这都一下午了。”苏十坤端着一杯刚泡好的茉莉花茶走过来，轻轻放在哥哥手边，好奇地探过头去。

　　“我在算三次根号2197001到2744000之间的整数立方根。”苏清乾放下笔，揉了揉有些发酸的手腕，抬头看向妹妹，眼里带着一丝兴奋，“十坤，你知道吗？这个区间里的数，这背后，藏着很有趣，的数学规律。”

　　“对，我们来逐个，算一下。”，苏清乾笑着，接过话头，在纸上写下：
　　131³ = 131×131×131 = 2248091
　　132³ = 132×132×132 = 2299968
　　133³ = 133×133×133 = 2352637
　　134³ = 134×134×134 = 2406104
　　135³ = 135×135×135 = 2460375
　　136³ = 136×136×136 = 2515456
　　137³ = 137×137×137 = 2571353
　　138³ = 138×138×138 = 2628072
　　139³ = 139×139×139 = 2685619
　　140³ = 2744000

　　“哇，这么多！”苏风艮看着纸上密密麻麻的数字，忍不住感叹，“那这些数的立方根都是整数，从131到140，正好是10个连续的整数。”

　　苏月巽推了推眼镜，若有所思地说：“这里面其实有个很有趣的规律。我们知道，对于任意整数n，(n+1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1。也就是说，相邻两个整数的立方之间的差值，是一个关于n的二次函数。比如131³ - 130³ = 3×130² + 3×130 + 1 = 3×16900 + 390 + 1 = 51091，所以131³ = 130³ + 51091 = 2197000 + 51091 = 2248091，和我们刚才算的一样。”

　　“这个规律好有用！”苏十坤眼睛一亮，“这样我们就不用每次都去硬算立方，只要知道前一个数的立方，就能通过这个公式算出下一个数的立方了。”

　　苏清乾笑着补充道：“不仅如此，我们还可以反过来思考。比如，给定一个在2197001到2744000之间的数，我们怎么快速判断它是不是完全立方数，或者它的立方根的整数部分是多少？这时候就可以用估算的方法。比如，我们知道135³ = 2460375，如果一个数比2460375大，比136³ = 2515456小，那它的立方根的整数部分就是135。”