《乾坤巽艮》苏领大公主

26、三次根号1728001~2197000 3次√17

　　午后的阳光斜斜地照进苏家老宅的书房，四张书桌拼在一起，上面摊着草稿纸、计算器，还有一本翻旧的《数论基础》。苏清乾坐在最左边，手里转着一支钢笔，目光落在纸上那一串数字上。

　　“三次根号1728001到2197000，”他念了一遍，嘴角微微上扬，“这个范围有点意思。”

　　苏十坤把椅子往桌边挪了挪，凑过去看：“哥，你是不是又发现什么好玩的数了？”

　　“不是我发现的，是数自己在那儿等着。”苏清乾笑了笑，用笔尖点了点纸面，“你们先看看这两个端点。1728001，2197000。有没有觉得眼熟？”

　　苏风艮托着下巴，眼睛转了转：“1728……我好像在哪见过。12的三次方是1728，对吧？”

　　“没错。”苏清乾点头，“12³ = 1728。那1728000呢？”

　　苏十坤反应很快：“那就是1728乘以1000，也就是12³× 10³，等于120³！”

　　“对，120³ = 1728000。”苏清乾在纸上写下，“所以1728001就是120³ + 1。”

　　苏风艮，挠了挠头：“那如果我们想，估算某个数的立方根，比如2000000，怎么快速算？”

　　“所以125³ = 1953125。”，苏清乾把结果写下来，“2000000，比它大一点，所以三次根号2000000大概是125点几。你看，不用计算器也能估得八九不离十。”

　　苏十坤若有所思：“也就是说，在这个区间里随手挑一个数，它几乎不可能是完全立方数。概率大概是十万分之一。”

　　“差不多。”苏清乾说，“完全立方数在整数里非常稀疏。越往大走，两个相邻完全立方数之间的空隙越大。120³和121³之间差了多少？你们算算。”

　　苏月巽提笔写：“121³ - 120³。可以用立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)。这里a = 121，b = 120，a - b = 1，所以差就是121² + 121×120 + 120²。”

　　她算了一会儿：“121² = 14641，120² = 14400，121×120 = 14520。加起来……14641 + 14520 + 14400 = 43561。”

　　“所以120³和121³之间隔了43561个整数。”苏清乾说，“而到了129³和130³之间，间隔会更大。你们可以课后算算看。”

　　苏风艮伸了个懒腰：“越往后面，完全立方数越稀罕，感觉它们像星星一样，散在很大的夜空里。”

　　“这个比喻不错。”苏清乾笑了笑，“而且立方根的意义，就是帮我们在这些‘星星’之间定位。给你一个数，你通过立方根就能知道它离哪颗‘星星’最近。”