《乾坤巽艮》苏领大公主

24、三次根号1331001~1728000 3次√13

　　晚风从窗棂间掠过，吹得桌上几张草稿纸微微卷起边。苏清乾把一本旧数学笔记摊开，封面上写着“数与形”，是父亲留下的。苏十坤靠在椅背上，指尖转着一支笔。苏月巽抱着一只马克杯，杯沿还冒着热气。苏风艮则蹲在书架前，翻出一本泛黄的《算术杂记》。

　　“你们看这个数。”苏清乾用笔尖点着纸上的区间，“三次根号1331001到1728000。它不是随便写的。”

　　苏十坤抬眼：“1331001……1331我知道，11的三次方。后面多个001，像是，故意凑的。”

　　“不是凑。”，苏清乾说，“1331000，是110的三次方，因为110³=1331000。那1331001，就是110³+1。1728000是120³，因为12³=1728。”

　　110³=1331000，111³=1367631，112³=1404928，113³=1442897，114³=1481544，115³=1520875，116³=1560896，117³=1601613，118³=1643032，119³=1685159，120³=1728000。

　　苏月巽看着那一串数字，忽然笑了：“这些数看起来像山，一座比一座高，但每座山之间的距离并不相等。”

　　苏清乾说：“因为立方增长越来越快。相邻两个整数的立方差，大约是3n²。比如110附近，差值大约是3×110²=36300；到120附近，就变成3×120²=43200。所以越往后，立方数越稀疏。”

　　苏风艮皱眉：“可题目给的是三次根号，不是立方数本身。我们讨论它，到底在讨论什么？”

　　苏月巽睁大眼睛：“这么算，比计算器慢，但能看见数字怎么动。”

　　苏十坤说：“这就是立方根的味道。它不是一个冷冰冰的答案，而是一段从已知立方数出发的修正。你站在112³旁边，往回退一点点，就落到1400000上。”

　　苏风艮忽然问：“那1331001呢？它只比110³多1，三次根号是不是几乎就是110？”

　　苏清乾点头：“用同样方法，(110+ε)³≈110³+3×110²×ε。3×110²=3×12100=36300。ε≈1/36300，约等于0.0000275。所以三次根号1331001≈110.0000275。它几乎贴着110，却已经离开了110。”

　　苏月巽轻声说：“像一个人刚跨过门槛。”

　　苏十坤望着窗外：“那1728000呢？它是120³，干净利落。三次根号1728000=120，不多不少。这个区间的尽头，正好落在一座整数山上。”