《乾坤巽艮》苏领大公主

21、根号1万1~12100 √1万1~

　　午后的阳光透过书房宽大的落地窗洒进来，在红木书桌上投下斑驳的光影。苏清乾手里转着一支钢笔，目光落在面前摊开的草稿纸上，那里写着一连串的数字：10001, 10002, 10003……一直延伸到12100。

　　“哥，你盯着这串数字看了快十分钟了，”苏十坤咬着棒棒糖，含糊不清地说道，“根号10001到根号12100，这有什么好看的？”

　　苏清乾抬起头，推了推眼镜：“十坤，你注意到没有，10000是100的平方，12100是110的平方。所以我们要讨论的，是介于100和110之间的这些数的平方根。”

　　“哦——”苏十坤拖长了声音，“就是从100点多到110嘛。”

　　“没那么简单。”苏风艮从书架旁走过来，手里拿着一本《数论导引》，“姐，你看，10001到12100之间，总共有2100个整数。但其中完全平方数只有101²到109²这九个——10201, 10404, 10609, 10816, 11025, 11236, 11449, 11664, 11881。这些数的平方根是整数，其余的2091个数，它们的平方根都是无理数。”

　　苏月巽端着四杯茶走过来，轻轻放在桌上：“风艮总是这么严谨，这些无理数里藏着一种奇妙的秩序。”

　　“像星空一样，”苏清乾若有所思，“每一颗星星的位置都是确定的，但你永远无法用有限的语言完全描述它。”

　　苏十坤忽然坐直了身子：“等等，我想到一个问题。根号10001和根号10002，它们相差多少？”

　　“那根号10001和根号12100呢？”

　　“这倒是反直觉，”苏十坤挠挠头，“数字越大，平方根反而长得越慢？”

　　“因为平方和开方是互逆运算。”苏月巽解释道，“100的平方是10000，101的平方是10201，差了201；但109的平方是11881，110的平方是12100，差了219。平方数的间隔在变大，所以反过来，平方根要‘追上’下一个整数，需要的x增量就越来越大。”

　　苏清乾忽然眼睛一亮：“你们有没有想过，这些平方根的小数部分，有没有什么规律？比如根号10001的小数部分是0.004999875……，根号10002是0.009999500……，看起来好像有某种模式。”

　　“连分数的展开会有周期性，”苏风艮说，“因为这些都是二次无理数。但小数部分本身，看起来是‘伪随机’的。不过——”他顿了顿，“如果我们把根号10001到根号12100的小数部分画成直方图，它们应该近似均匀分布在0到1之间。这是等分布定理的一个特例。”