《乾坤巽艮》苏领大公主

12、三次根号125001~216000 3次√12

　　苏清乾把一本泛黄的《数论初步》摊在桌上，指尖点着其中一行：“三次根号125001到216000，这个区间有意思。”

　　苏十坤凑过来，推了推眼镜：“哥，你又在搞什么？125001……这数字看着眼熟。”

　　苏清乾点点头：“没错。也就是说，三次根号下这个区间里的所有整数，它们的立方根都落在50到60之间——但不包括50，因为50³=125000不在区间内；而60³=216000正好在边界上，所以包括60。”

　　苏十坤皱眉：“等等，你是说，对于任意整数n∈[125001, 216000]，∛n ∈ (50, 60]？”

　　“对，”苏清乾说，“而且只有当n是某个整数的立方时，∛n才是整数，哪些整数的立方落在这里？”

　　苏风艮掰着手指头算：“51³是多少？”

　　“51³ = (50+1)³ = 50³ + 3×50²×1 + 3×50×1² + 1³ = 125000 + 7500 + 150 + 1 = 132651。”苏月巽脱口而出。

　　“哇，姐，你心算这么猛？”，苏风艮瞪大眼睛。

　　苏清乾接过话：“52³ = (50+2)³ = 125000 + 3×2500×2 + 3×50×4 + 8 = 125000 + 15000 + 600 + 8 = 140608。”

　　“53³ = 148877，54³=157464，55³=166375，56³=175616，57³=185193，58³=195112，59³=205379，60³=216000。”苏十坤一口气报完，眼神发亮，“所以从51³到60³，一共10个完全立方数。”

　　苏风艮挠头：“所以，这个区间里有10个整数的立方根是整数，其余的都是无理数？”

　　“对，”苏清乾说，“而且这些无理数的立方根都是代数无理数，不能用分数表示，也不能写成有限小数或循环小数。”

　　苏月巽补充：“不过我们可以估算它们的近似值。比如∛125001，它非常接近50，因为125001 = 50³ + 1。我们可以用微分近似：设f(x) = ∛x，则f'(x) = 1/(3x^(2/3))。在x=125000处，f'(125000)。所以∛(125000+1) ≈ 50 + 1/7500 ≈ 50.0001333。”

　　“哇，这么精确？”苏风艮惊叹。

　　“这只是线性近似，不是精确值。”，苏十坤说，“不过对于大多数实际应用，这种精度足够了。”

　　苏清乾忽然笑了：“你们有没有想过，这个区间其实藏着一个‘立方数的走廊’？从50³之后开始，到60³结束，中间每一步都是一个立方数的‘站点’。就像火车从50站开到60站，每站停靠一次。”

作者有话说

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