《乾坤巽艮》苏领大公主

11、根号2501~3600 √2501

　　午后的阳光斜斜地照进苏家老宅的书房，四张书桌拼在一起，上面摊开了一本厚厚的《数学手册》。苏清乾推了推眼镜，指尖点在书页上：“从√2501到√3600，整整一千一百个，数的平方根。”

　　苏十坤托着腮，眼睛盯着那串数字：“哥，这范围选得真巧。2500是50的平方，3600是60的平方，所以我们要讨论的，其实就是50到60之间，加上两端的整数。”

　　“没错。”苏清乾点头，“√2500=50，√3600=60，这两个是端点。中间的2501到3599，其他的开出来都是无理数。”

　　苏风艮趴在桌上，用铅笔敲着本子：“那中间的完全平方数有哪些？51²=2601，52²=2704，53²=2809，54²=2916，55²=3025，56²=3136，57²=3249，58²=3364，59²=3481。一共九个。”

　　苏十坤忽然坐直了身子：“你们有没有发现，这些平方根的整数部分其实很有规律？从√2501到√2600，整数部分都是50；从√2601到√2703，整数部分都是51——不对，等一下，2601是51²，所以从√2602到√2703的整数部分是51。”

　　“对。”苏清乾接过话头，“一般地，对于整数n，当n² < x < (n+1)²时，√x的整数部分就是n。所以在50到60之间，每个整数部分对应的区间长度是不同的。比如为50的区间，是从2501到2600，共100个数；为51的，是从2602到2703，也是102个数？让我算算——52²=2704，所以是2602到2703，共102个数。”

　　苏风艮掏出计算器按了几下：“不对，哥，2703-2602+1=102，但2601本身是51²，已经排除在外了。所以整数部分为51的无理数平方根有102个。”

　　“越往后区间越长。”苏月巽若有所思，“因为(n+1)²-n²=2n+1，随着n增大，相邻平方数之间的间隔越来越大。所以整数部分为59的区间，是从3482到3599，共118个数。”

　　苏清乾在白板上画了一条数轴：“我们可以把这1100个数分成十段，每段对应一个整数部分。50到59，十个整数部分，每段的个数分别是——”他飞快地写着，“50对应100个，51对应102个，52对应104个，53对应106个，54对应108个，55对应110个，56对应112个，57对应114个，58对应116个，59对应118个。加起来正好是1091个无理数，加上9个整数，总共1100个”

作者有话说

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