《乾坤巽艮》苏领大公主

118、三次根号330^3+1~340^3 3次√33

　　立方根的“接力赛”

　　上一回四人刚把 320 到 330 的立方根整数部分理清楚，这天下午，苏清乾又把一张写满数字的纸铺在桌上。

　　苏十坤端着果盘进来，一眼就看见了题目：“哥，你又要考我们？这次是什么？”

　　“从 330³+1 到 340³这些数，分别开三次根号，整数部分是多少。”苏清乾用笔尖点了点纸面，“看起来很长，但规律和上次一样。”

　　苏风艮凑过来，嘴里还叼着半块饼干：“那我先说。330³开三次根号就是 330，所以 330³+1 肯定比 330 大一点点，整数部分还是 330。”

　　“没错。”苏清乾点头，“但什么时候会变成 331 呢？”

　　苏月巽把果盘放下，拿起笔：“还是看相邻立方数的差。331³-330³就是第一个临界点。”

　　苏十坤在旁边提醒：“公式别忘了，a³-(a-1)³=3a²-3a+1。”

　　苏清乾在纸上写下：

　　331³-330³=3×331²-3×331+1
　　=3×109561-993+1
　　=328683-993+1
　　=327691

　　“所以，”苏清乾说，“从 330³+1 开始，到 330³+327690 为止，三次根号的整数部分都是 330。等加到 327691 时，正好等于 331³，整数部分就变成 331。”

　　苏风艮掰着手指算：“那接下来 332³-331³是多少？”

　　苏月巽已经写好了：“3×332²-3×332+1…。”

　　331³-330³=327691
　　332³-331³=329677
　　333³-332³=331669
　　334³-333³=333667
　　335³-334³=335671
　　336³-335³=337681
　　337³-336³=339697
　　338³-337³=341719
　　339³-338³=343747
　　340³-339³=345781

　　苏风艮看着这些数，忽然拍手：“它们每次增加的差是固定的。”

　　苏风艮忽然皱眉：“最后一段要小心。题目到 340³为止，所以 n 最大是 340³-330³。”

　　苏清乾满意地点头：“这就是容易出错的地方。很多同学只记住公式，却忘了端点。”

　　苏月巽看着满纸数字，感叹道：“从 330³+1 到 340³，一共 3367000 个数，开三次根号后，整数部分只从 330 变到 339。数字越大，立方之间的间隔也越大，所以每个整数部分能覆盖的数也越来越多。”

　　苏十坤补充：“而且这些差值增长得很有秩序。327691、329677、331669……像一排台阶，每一级都比前一级略高一点。”

　　苏风艮把纸举起来：“那如果继续算到 350³，是不是也会这样？”