《乾坤巽艮》苏领大公主

115、根号320^2+1~330^2 √320^

　　根号下的平方世界

　　苏家的客厅里，清乾正趴在茶几上写写画画，草稿纸铺了一地。十坤端着水杯路过，瞥了一眼，差点把水洒出来。

　　"哥，你又在搞什么？"

　　"根号。"清乾头也不抬，"从根号(320²+1)到根号(330²)，共320个根号，我想看看它们的整数部分都是多少。"

　　"那不都是320吗？"，十坤凑过来，"320²=102400，321²=103041，所以从320²到321²-1，之间的数，开根号取整，都是320。"

　　清乾，笑了笑，"你说得对，但也，不全对。题目写的是320²+1到330²，注意，330²本身，也在里面。330²=108900，它的根号，是330，整数部分，就是330。"

　　月巽，补充道："一般地，对于整数k，⌊√n⌋=k当且仅当k²≤n<(k+1)²，即n从k²到(k+1)²-1，共(k+1)²-k²=2k+1个数。但我们的，起点是320²+1而不是320²，所以⌊√n⌋=320，的数少了一个，只有2×320=640个。"

　　清乾，继续往下写：

　　- ⌊√n⌋=320：n从102401到103040，共640个
　　- ⌊√n⌋=321：n从103041到103683，共643个
　　- ⌊√n⌋=322：n从103684到104328，共645个
　　- ⌊√n⌋=323：n从104329到104975，共647个
　　- ⌊√n⌋=324：n从104976到105624，共649个
　　- ⌊√n⌋=325：n从105625到106275，共651个
　　- ⌊√n⌋=326：n从106276到106928，共653个
　　- ⌊√n⌋=327：n从106929到107583，共655个
　　- ⌊√n⌋=328：n从107584到108240，共657个
　　- ⌊√n⌋=329：n从108241到108899，共659个
　　- ⌊√n⌋=330：n=108900，共1个

　　风艮数了数，"从320到329，每个整数，都出现了，最后330，只出现一次。让我验证，一下总数——640+643+645+647+649+651+653+655+657+659+1。"

　　十坤拿出手机计算器，"等于6500。而330²-(320²+1)+1=108900-102401+1=6500。对上了！"

　　月巽若有所思地说："所以这320个根号值，其实覆盖了从320到330共11个不同的整数。大部分集中在320到329，每个值出现六百多次，而330只出现一次，就是最后一个数本身。"