《乾坤巽艮》苏领大公主

113、根号310^2+1~320^2 √310^

　　苏清乾把一叠草稿纸摊在桌上，指尖点了点最上面那张：“从√(310²+1)到√(320²)，一共十个根号，你们谁先说说有什么发现？”

　　苏十坤凑过来，盯着那些数字看了半天，挠挠头：“哥，这不就是挨个算吗？310的平方加1开根号，311的平方加1开根号……一直到320的平方开根号。320²那个最简单，就是320嘛，整数。”

　　“没那么简单。”苏月巽抱着胳膊靠在门框上，声音懒洋洋的，“你们看，310²是96100，加1就是96101。这个数开根号是多少？肯定不是整数。311²是96721，加1是96722，也不是完全平方数。一直到319²+1，都不是整数。只有最后一个320²才是整数。”

　　苏风艮推了推眼镜，从书包里掏出计算器：“姐说得对。我刚才算了一下，√(310²+1)≈310.0016，√(311²+1)≈311.0016，每个都只比底数大一点点。而且越往后，这个‘一点点’越小。到√(319²+1)≈319.0016，还是差不多。但√(320²)=320，正好是整数。”

　　“为什么？”苏十坤不解，“为什么加了1之后，开根号还是这么接近原来的数？”

　　苏清乾拿起笔，在纸上写了一个公式：“你们看，对于任意正整数n，√(n²+1)和n的差是多少？我们可以用近似公式：√(n²+1)=n·√(1+1/n²)≈n·(1+1/(2n²))=n+1/(2n)。所以当n很大的时候，1/(2n)就很小，根号值就只比n大一点点。”

　　苏十坤，“所以310的时候，1/(2×310)≈0.0016，跟风艮算的一样！”

　　苏月巽走过来，拿起笔在纸上画了一条曲线：“但其实，很有意思的序列。从310.0016开始，慢慢增加到311.0016、312.0016……一直到319.0016，最后突然跳到320。”

　　苏清乾笑了笑：“风艮这个证明很漂亮。不过你们再想想，如果加的不是1，而是别的数呢？比如√(n²+2)、√(n²+3)……会不会出现完全平方数？”

　　苏月巽眼睛一亮：“这个有意思！比如√(310²+2)，310²+2=96102，不是完全平方数。但有些数是可以的，比如√(3²+7)=√16=4，因为3²+7=16=4²。”

　　“所以关键看n²+k能不能写成m²的形式。”苏风艮接着说，“也就是m²-n²=k，即(m-n)(m+n)=k。只要k能分解成两个同奇偶的因数，就可能找到整数解。”

　　苏十坤听得云里雾里：“等等，同奇偶是什么意思？”