《乾坤巽艮》苏领大公主

112、三次根号300^3+1~310^3 3次√30

　　午后的，阳光斜斜，穿过书房窗棂，落在摊开的草稿纸上。苏清乾指尖，转着铅笔，盯着纸上那串算式：“三次根号下300³+1到310³，每个数开，三次方，取整数部分。”

　　“哥，你是不是，又想，折磨我们？”苏十坤从习题册里抬头，马尾辫，晃了晃，“这十个数，300³是27000000，310³是29791000，中间每个数，开三次方，难道，要一个个算？”

　　“当然不是硬算。”，苏清乾笑了笑，在纸上写下公式，“你们想，对于任意n，n³ < n³+k < (n+1)³，当k < 3n²+3n+1时，三次根号下n³+k的整数，部分就是n。所以300³+1到300³+(3×300²+3×300)=300³+270900，这些数的整数部分都是300。”

　　苏月巽，推了推眼镜，接过话头：“我算一下，每个立方数的边界。300³=27000000，301³=27270901，302³=27543608，303³=27818127，304³=28094464，305³=28372625，306³=28652616，307³=28934443，308³=29218112，309³=29503629，310³=29791000。”

　　“那我们可以分段统计。”苏风艮拿起笔，“从300³+1=27000001到301³=27270901，整数部分为300的数有27270901-27000000=270901个？不对，300³本身不算，是从+1开始，所以是270901-1=270900个？等等，301³的整数部分是301，所以300的区间是27000001到27270900，共270900个数。”

　　苏十坤掰着手指：“那301的区间是27270901到27543607，因为302³=27543608，所以是27543607-27270901+1=272707个数？我来验证一下：302³-301³=(302-301)(302²+302×301+301²)=1×(91204+90902+90601)=272707，对！”

　　“原来相邻立方数的差就是3n²+3n+1。”苏清乾点头，“301³-300³=3×300²+3×300+1=270000+900+1=270901，所以300的个数是270901-1=270900（因为从+1开始）。301的个数是302³-301³=272707，302的个数是303³-302³=274519，以此类推。”