《乾坤巽艮》苏领大公主

111、根号300^2+1~310^2 √300^

　　苏清乾把手机往桌上一扣，屏幕还亮着，上面是他刚敲出的一行算式：√(300²+1) 到 √(310²+1) 的整数部分。

　　“都别刷手机了，”他扫了眼围坐的四人，“我有个问题，你们觉得这些根号的整数部分，是不是都等于300？”

　　苏十坤正啃苹果，闻言抬头，眼睛一亮：“哥，你是不是又想考我们？我上次被你坑过，√(300²+1) 我一开始以为是300，结果你说它比300大一点点。”

　　“没错。”苏清乾点头，“但你们有没有想过，从300²+1到310²+1，这11个数的平方根，整数部分会不会一直是300？”

　　苏月巽托着腮，手指在桌上轻轻敲着：“300²是90000，301²是90601，302²是90904……等等，我算算，300²+1是90001，它的平方根肯定比300大，但比301小，因为301²是90601，远大于90001。所以√(300²+1)的整数部分是300。”

　　苏风艮已经掏出草稿纸，唰唰写着：“姐，你算得太慢了。我直接算310²+1是多少——310²是96100，加1是96101。那√96101的整数部分是多少？310²是96100，所以√96101比310大一点点，整数部分是310！”

　　“啊？”苏十坤愣住，“那岂不是从300到310，整数部分都不一样？”

　　苏清乾笑了：“风艮算对了。但你们有没有发现一个规律？对于任意正整数n，√(n²+1)的整数部分就是n，因为n² n²，所以√(n²+2n)的整数部分还是n。只有当k≥2n+1时，整数部分才会跳到n+1。”

　　苏清乾总结：“你们看，平方数的间隔规律非常清晰。相邻平方数之间的差是2n+1，这是一个等差数列，公差为2。所以对于√(n²+k)，只要k小于2n+1，整数部分就是n；一旦k达到或超过2n+1，整数部分就会变成n+1或更大。”

　　苏十坤感叹：“原来根号和平方数之间有这么多有趣的规律。我以前只觉得根号很难算，没想到背后有这么多门道。”

　　苏风艮笑着说：“是啊，而且这些规律还可以推广。比如√(n²+kn)的整数部分，当k<2时是n，当k≥2时可能是n+1或更大。”

　　苏月巽补充：“甚至可以研究√(n³+1)的整数部分，不过那就涉及立方数了，更复杂一些。”

　　苏清乾看着三个弟弟妹妹，眼中满是欣慰：“数学就是这样，从一个简单，的问题出发，可以引出很多，有趣的规律。你们今天讨论的这些，其实都是数论和，代数中的基本内容。以后遇到类似的问题，记得，这是解题的关键。”