《乾坤巽艮》苏领大公主

110、三次根号290^3+1~300^3 3次√29

　　傍晚的自习室里，苏清乾把题目写在白板上：“三次根号下，290³到300³的和。”

　　苏十坤先皱眉：“这要是硬算，十一个立方加起来，再开三次根，手都要断了。”

　　苏月巽却笑着摇头：“哥，你别急着算。十一个连续整数的立方和，中心是295，说不定可以对称着看。”

　　苏风艮点头：“设 n = 295，那这串数就是 n-5, n-4, …, n, …, n+4, n+5。写成求和式就是Σ(n+k)³，k 从 -5 到 5。”

　　清乾接上：“展开 (n+k)³ = n³ + 3n²k + 3nk² + k³。然后逐项求和。”

　　十坤眼睛一亮：“k 从 -5 到 5，奇次项会抵消！Σk = 0，Σk³ = 0。剩下的是 11n³ + 3n·Σk²。”

　　月巽在草稿纸上算：“Σk² = 2·(1²+2²+3²+4²+5²) = 2·55 = 110。所以和 S = 11n³ + 330n = 11n(n² + 30)。”

　　风艮补充：“代入 n = 295，n² = 87025，n² + 30 = 87055。先算 295×87055。”

　　清乾写：“295×87055 = (300-5)×87055 = 26116500 - 435275 = 25681225。再乘 11，得 S = 282493475。”

　　十坤盯着数字：“所以原式是三次根号下 282493475。”

　　月巽说：“它不是整数。因为 656³ = 282300416，657³ = 283593393，而 282493475 夹在中间，更靠近 656³。”

　　风艮估算：“282493475 - 282300416 = 193059。三次根附近可用微分近似：Δx ≈ΔS / (3x²)。这里 3×656² = 1291008，193059 ÷ 1291008 ≈ 0.1495。所以约等于 656.1495。”

　　清乾总结：“精确值就是 ∛282493475，近似值 656.15。它比 295 的 2.224 倍左右，也比中间项 295 大不少，因为立方增长快，后面的 299³、300³把整体拉高了。”

　　十坤感慨：“原来不用真把十一个，立方逐个算死。对称抵消、提取公因式，再配合一点近似，答案就，出来了。”

　　粉笔灰在午后，的阳光里轻轻浮着，像一场微型的雪。月巽转身，用指关节叩了，叩黑板上那道，复杂的函数题，发出笃笃的轻响。

　　她拿起板擦，并没有擦去，那些密密麻麻，的推导过程，而是手腕一转，画了一个大大的、并不规整的圆圈，将整道题连同那些。辅助线都圈在了里面。

　　风艮，收起笔：“那这道题的答案，就记清楚：∛(290³+291³+…+300³) = ∛282493475 ≈ 656.1495。”