《乾坤巽艮》苏领大公主

109、根号290^2+1~300^2 √290^

　　夜色沉静，苏家客厅的灯还亮着。茶几上摊着几张草稿纸，苏清乾正用铅笔在纸上写下一串算式，苏十坤抱着抱枕窝在沙发里，苏月巽靠在门框上啃苹果，苏风艮则盘腿坐在地毯上翻一本旧数学杂志。

　　"我最近在想一个事。"苏清乾忽然开口，笔尖顿了顿，"根号下290的平方加1，一直到根号下300的平方，这些数，你们觉得它们之间有什么联系？"

　　苏十坤抬起头，眨了眨眼："哥，你是说√(290²+1)、√(290²+2)，一直到√(300²)？"

　　"对。"苏清乾点点头，"从290到300，一共11个整数，每个数的平方再加1到它本身，开根号。"

　　苏月巽咬了一口苹果，皱眉道："这不就是些无理数吗？除了最后一个√(300²)=300是整数，其他的都开不尽吧？"

　　"没错。"苏风艮合上杂志，推了推眼镜，"但哥的意思恐怕不是让我们算具体值。他是在问——这些数在数轴上的分布、它们之间的间隔、或者说，它们逼近整数的方式，有没有什么规律。"

　　苏清乾笑了："知我者，风艮也。"

　　苏十坤凑过来看草稿纸："那你算了吗？"

　　"算了前几个。"苏清乾把纸转过来，"比如√(290²+1)。290²是…。”

　　"因为1相对于84100太小了。"苏风艮接过话，"用泰勒展开近似的话，√(n²+k)≈n+k/(2n)，当k远小于n²时。所以√(290²+1)≈290+1/(2×290)=290+1/580≈290.001724，和你算的几乎一样。"

　　苏月巽若有所思："那√(290²+2)就约等于290+2/580=290.003448？"

　　"对。"苏风艮点头，"所以从√(290²+1)到√(290²+289)，它们都夹在290和291之间，而且大致均匀地分布——虽然不是严格均匀，因为分母2n是固定的，分子k从1增加到289，所以增量是线性的。"

　　苏十坤忽然举手："等等，289是17的平方，也是290-1的平方吗？不对，290-1=289，289=17²……哦，290²-1=(290-1)(290+1)=289×291，所以√(290²-1)≈289.998……"

　　"你反应很快。"苏清乾赞许地看了妹妹一眼，"所以√(290²+k)，当k从1变到579时，结果从略大于290变到略小于291。因为291²=84681，而290²+580=84100+580=84680，还差1才到291²。所以√(290²+580)≈290+580/580=291，但实际上还差一点点。"