《乾坤巽艮》苏领大公主

108、三次根号280^3+1~290^3 3次√28

　　立方根下的黄昏

　　深秋的傍晚，苏家老宅的院子里，桂花落了一地。苏清乾、苏十坤兄妹俩，苏月巽与苏风艮姐弟俩，四人围坐在石桌旁，桌上摊着一本泛黄的数学笔记，封面上写着“三次根号280³+1~290³”——这是他们最近在研究的一个数列问题。

　　“哥，你说这个三次根号280³+1，到底是个什么数？”苏十坤托着腮，眼睛盯着笔记本上密密麻麻的公式，眉头微蹙。她是四人中最小的，刚上高二，对数学既好奇又有些畏惧。

　　苏清乾推了推眼镜，拿起笔在纸上写下一个表达式：“我们设a=280，那么三次根号a³+1，其实就是求一个数x，使得x³=a³+1。显然x比a大一点，但大多少呢？”

　　“我们可以用泰勒展开或者二项式近似。”苏月巽接过话头，她是四人中数学最好的，大学读的是应用数学。她拿起笔，在纸上写下：

　　x = (a³ + 1)^(1/3) = a(1 + 1/a³)^(1/3) ≈ a(1 + 1/(3a³)) = a + 1/(3a²)

　　“所以，三次根号280³+1 ≈ 280 + 1/(3×280²) ≈ 280 + 1/235200 ≈ 280.00000425。”她一边写一边解释，“也就是说，这个数几乎就是280，只比280大一点点。”

　　“哇，这么小？”苏十坤瞪大了眼睛，“那三次根号281³+1呢？是不是也差不多？”

　　“当然。”苏风艮笑着插话，他是苏月巽的弟弟，性格活泼，喜欢用比喻来理解问题，“这就像你往一个装满水的杯子里滴一滴水，水位上升几乎看不出来。a³已经很大了，加1对它来说微不足道。”

　　苏清乾点点头：“但如果我们考虑从280³+1到290³+1这11个数的三次根号，它们的整数部分其实都是280到290之间的整数，只是小数部分略有不同。”

　　“那它们的和呢？”苏十坤好奇地问。

　　“我们可以估算。”苏月巽说，“每个三次根号n³+1 ≈ n + 1/(3n²)，所以从n=280到290，总和大约是：

　　Σ(n=280到290) [n + 1/(3n²)] = Σn + Σ1/(3n²)

　　Σn = (280+290)×11/2 = 3135

　　Σ1/(3n²) ≈ 1/3 × ∫(280到290) 1/x² dx = 1/3 × -1/x = 1/3 × (1/280 - 1/290) ≈ 1/3 × (10/(280×290)) ≈ 0.000041

　　所以总和大约是3135.000041，几乎就是3135。”

　　“天哪，这么精确？”苏十坤惊叹。

　　苏风艮笑道：“数学就是，这么神奇，看似复杂的表达式，背后往往藏着，简洁的规律。”

　　苏清乾，望着天边，渐暗的晚霞。