《乾坤巽艮》苏领大公主

107、根号280^2+1~290^2 √280^

　　根号下的秘密

　　夏日的午后，苏家老宅的庭院里，四兄妹围坐在葡萄架下。苏清乾手里转着一支笔，苏十坤捧着平板电脑，苏月巽和苏风艮则各自拿着一本笔记本。

　　“我刚发现一个有趣的现象。”苏清乾率先开口，“根号280的平方加1到根号290的平方，这些数之间有什么规律吗？”

　　苏十坤推了推眼镜：“你是说√(280²+1)到√(290²)之间的数？”

　　“对，就是√(78401)到√(84100)之间的所有形如√(n²+1)的数。”苏清乾解释道。

　　苏月巽皱着眉头思考：“这些数都不是完全平方数，所以它们的平方根都是无理数。”

　　“但我们可以看看它们的整数部分有什么规律。”苏风艮插话道，“比如√(280²+1)的整数部分肯定是280，因为280²<280²+1<281²。”

　　苏十坤在平板上快速计算着：“确实，对于任何正整数n，√(n²+1)的整数部分都是n，因为n²
　　“那么从280到289，这些数的整数部分就是它们本身。”苏清乾总结道，“但小数部分呢？有没有什么规律？”

　　苏月巽拿起笔在纸上写着：“我们可以用近似公式。当x很小时，√(1+x)≈1+x/2。所以√(n²+1)=n√(1+1/n²)≈n(1+1/(2n²))=n+1/(2n)。”

　　“也就是说，√(n²+1)≈n+1/(2n)。”苏风艮接着说，“那么小数部分大约是1/(2n)。”

　　苏十坤计算了几个例子：“对于n=280，1/(2×280)≈0.001786；对于n=285，1/(2×285)≈0.001754；对于n=289，1/(2×289)≈0.001730。”

　　“随着n增大，小数部分在减小。”苏清乾观察道，“但减小的速度越来越慢。”

　　苏月巽点头：“这是因为1/(2n)的导数是-1/(2n²)，随着n增大，变化率也在减小。”

　　“我们可以看看这些数的平方。”苏风艮提议，“(√(n²+1))²=n²+1，所以这些数的平方就是连续的整数。”

　　“当k=2n时，√(n²+2n)=√(n(n+2))，这个数，接近n+1但小于n+1。”，苏清乾补充道。

　　苏十坤突然兴奋地说：“我发现一个更有趣的性质！如果我们考虑√(n²+1)-n，这个差值随着n增大而减小。”

　　“确实，√(n²+1)-n=1/(√(n²+1)+n)≈1/(2n)。”苏清乾验证道。

　　苏月巽在笔记本上写着：“这个差值的极限是0，但永远不会等于0，因为√(n²+1)永远大于n。”