《乾坤巽艮》苏领大公主

106、三次根号270^3+1~280^3 3次√27

　　苏清乾把草稿纸往桌上一拍，"我算了一上午，三次根号下270³到280³的和，结果卡在最后一步。"

　　苏十坤凑过来看了一眼，"哥，你该不会真打算一个一个加吧？"

　　"不然呢？"苏清乾理直气壮。

　　坐在对面的苏月巽放下笔，推了推眼镜，"哥，你忘了我们之前聊过的？连续整数的立方和有个公式的。"

　　苏风艮咬着笔帽，"姐，你直接说结论吧，我哥那个脑子你跟他绕弯子他听不懂。"

　　苏清乾伸手敲了弟弟一下，"你再说一遍？"

　　苏月巽笑着打圆场，"好了好了。公式是这样的——1³+2³+…+n³等于[n(n+1)/2]²。所以我们要求的是270³到280³的和，可以拆成1³到280³的和减去1³到269³的和。"

　　苏十坤掏出计算器，"那就是[280×281/2]²减去[269×270/2]²。"

　　苏风艮眼睛一亮，"等等，这不就是平方差公式吗？a²-b²=(a+b)(a-b)。"

　　四个人同时安静了两秒，然后苏清乾猛地一拍桌子，"对啊！我怎么没想到！"

　　苏十坤翻白眼，"你光顾着硬算。"

　　苏月巽接着往下算，"a是280×281/2，也就是39480。b是269×270/2，也就是36315。a+b等于75795，a-b等于3165。"

　　苏风艮，"75795乘以3165……239,891,175！"

　　苏清乾盯着那个数字，"所以三次根号下239,891,175……"

　　苏风艮感叹，"十一个数的立方和开三次根，比最大的那个数280的两倍多一点。"

　　苏清乾若有所思，"这说明立方增长太快了，大数的立方在总和里占的比重远超过小数。你看280³本身就是2195万，而270³只有1968万，差了一截。"

　　苏月巽点头，"如果项数再多一些，比如从1³加到n³，开三次根之后结果大约是n²/2的三次根，也就是n的2/3次方量级。所以项数越多，开方结果相对于最大项的比值会越小。"

　　苏十坤补充，"反过来想也挺有意思。如果把这十一个数看成一组数据，它们的立方和开三次根，其实类似于一种'三次方平均'的概念，跟算术平均、平方平均是一脉相承的。"

　　苏清乾忽然说，"那如果除以11再开三次根呢？"

　　苏十坤算了算，"239,891,175除以11约等于21,808,289，开三次根大约是279.4。"

　　苏风艮惊讶，"这么接近280？"

　　苏月巽解释道，"因为立方函数增长太快了，最大的几个数几乎主导了整个和。275到280这六个数的立方和已经占了绝大部分，所以'三次方平均'非常靠近最大值。"