《乾坤巽艮》苏领大公主

103、根号260^2+1~270^2 √260^

　　周末的午后，阳光透过纱帘洒在书房的木地板上，苏家四兄妹难得都聚在家里。苏清乾正对着笔记本敲代码，苏十坤窝在沙发里翻一本数学科普书，苏月巽端着刚泡好的柠檬水走过来，苏风艮则抱着平板在角落里打游戏。

　　“你们说，”苏十坤忽然放下书，眼睛亮了起来，“根号260的平方加1到根号270的平方，这十一个数的整数部分会不会有规律？”

　　苏清乾停下敲键盘的手，推了推眼镜：“你是说√(260²+1)到√(270²)的整数部分？”

　　“对！”苏十坤坐直了身体，“我刚才看书里提到，当n很大的时候，√(n²+1)的整数部分其实就是n，因为n²+1比n²只大了一点点，开根号之后肯定比n大但比n+1小。”

　　苏月巽把柠檬水放在茶几上，凑过来看：“那这样的话，√(260²+1)的整数部分就是260，√(261²+1)的整数部分就是261，一直到√(270²)的整数部分是270？这也太简单了吧。”

　　“所以，”苏十坤接过话头，兴奋地拍了一下手，“对于所有正整数n，都有n < √(n²+1) < n+1，也就是说√(n²+1)的整数部分就是n！”

　　苏月巽若有所思地点点头：“那这样的话，√(260²+1)的整数部分是260，√(261²+1)的整数部分是261，一直到√(270²)的整数部分是270。这十一个数的整数部分分别是260、261、262、263、264、265、266、267、268、269、270。”

　　“但是，”苏风艮还是有点不放心，“我们能不能实际算几个看看？比如√(260²+1)到底是多少？”

　　苏清乾点点头，在计算器里输入260的平方加1，然后开根号：“260的平方是67600，加1是67601，开根号……约等于260.001923。确实，整数部分是260，小数部分非常小。”

　　“哇，”，苏月巽看着屏幕上的数字，感叹道，“小数部分都只有0.001左右，难怪整数部分就是n本身。不过我好奇，为什么小数部分会越来越小呢？260的时候是0.001923，265的时候是0.001887，确实在变小。”

　　苏清乾说：“这是因为√(n²+1) - n = (√(n²+1) - n)×(√(n²+1) + n)/(√(n²+1) + n) = (n²+1 - n²)/(√(n²+1) + n) = 1/(√(n²+1) + n)。”

　　“哦——”苏十坤恍然大悟，“所以当n很大的时候，√(n²+1)几乎就等于n了，这就是为什么在物理或者工程计算里，有时候可以把√(n²+1)近似成n。”