《乾坤巽艮》苏领大公主

102、三次根号250^3+1~260^3 3次√25

　　苏清乾把草稿纸往桌上一摊，笔尖在纸上划出沙沙的声响：“三次根号下250的立方加1到260的立方，这个范围不小啊。”

　　苏十坤凑过来看了一眼，推了推眼镜：“哥，你是要算每一个值，还是估算？”

　　“先看看整体吧。”苏清乾在纸上写下表达式：sqrt[3]{250^3+1} 到 sqrt[3]{260^3}。

　　苏月巽咬着笔杆思考了一会儿：“姐，我觉得可以从端点入手。250的立方是15625000，260的立方是17576000，所以三次根号的结果肯定在250到260之间。”

　　“没错。”苏清乾点头，“但更精确一点呢？比如250³+1的三次根号，它比250大多少？”

　　苏风艮拿起计算器按了几下：“哥，我用计算器算了一下，sqrt[3]{250^3+1} 大约是250.00000533，几乎就是250。”

　　“这很正常。”苏十坤解释道，“因为250的立方本身已经很大了，加1对它的影响微乎其微。我们可以用泰勒展开来理解——设 f(x)=sqrt[3]{x}，在 x=250^3 处展开，f(250^3+1)approx 250+frac{1}{3times250^2}，算出来就是那个数。”

　　苏月巽恍然大悟：“所以越往后面，每次加1带来的增量越小？”

　　“精确地说，”，苏风艮，补充，“250³+1到251³-1共有 251^3-250^3-1=188251-1=188250 个数，它们的三次根号都在250到251之间。而259³到260³共有 260^3-259^3=17576000-17173579=402421 个数，它们的，三次根号在259到260之间。”

　　苏十坤，若有所思：“所以这个区间内，三次根号的整数部分从250，逐步增加到260，共经历了11个，不同的整数部分。如果我们想知道，某个具体值的近似，可以用线性，插值或者牛顿迭代法。”

　　苏清乾，笑了笑：“说到牛顿迭代法，求 sqrt[3]{a} 可以构造函数 f(x)=x^3-a，迭代公式是 x_{n+1}=frac{2x_n+a/x_n^2}{3}。比如求 sqrt[3]{16000000}，取初值252，迭代一次就能得到很精确的结果。”

　　苏月巽拿出纸笔开始算：“我试试！x_1=frac{2times252+16000000/252^2}{3}=frac{504+16000000/63504}{3}approxfrac{504+251.95}{3}approx251.98，确实很接近了。”