《乾坤巽艮》苏领大公主

101、根号250^2+1~260^2 √250^

　　午后的阳光斜斜照进苏家小院，石桌上摊着几张草稿纸，苏清乾用笔尖轻轻敲了敲纸面，率先开口：“我最近在研究一个数列问题——根号下从250²+1到260²的所有整数，你们说它们的整数部分会怎么变化？”

　　苏十坤托着腮，手指无意识地在桌上画着圈：“250²是62500，260²是67600，中间隔了5100个数呢。根号下的数越大，结果肯定越大，但整数部分应该不会每个数都变吧？”

　　“没错。”苏月巽推了推眼镜，拿起笔在纸上写下几个算式，“我们先算边界值：√(250²+1)=√62501≈250.002，整数部分是250；而√(251²)=√63001=251，所以当根号下的数从62501到63001时，整数会从250变成251。”

　　苏清乾笑着纠正：“250²+1=62501，260²=67600，所以总数是67600-62501+1=5100个，刚才算等差数列和的时候多加了1，10项的和是5100，正好对应k=250到k=259的10个整数部分，每个部分的个数之和就是5100，而k=260对应的数是260²，包含在这5100个数里吗？不，260²=67600，是最后一个数，所以k=259对应的范围是259²到260²-1=67599，个数是2×259+1=519个，然后260²这1个数的整数部分是260，所以总个数是501+503+…+519+1=5100，对的。”

　　苏十坤恍然大悟：“原来如此！也就是说，从√(250²+1)到√(260²)，整数部分从250开始，每遇到一个完全平方数就加1，直到260。每个整数部分k（250≤k≤259）对应的数的个数是2k+1，这是因为(k+1)² - k²=2k+1，所以中间的数的个数就是2k+1个。”

　　苏月巽总结道：“这个问题其实揭示了平方数的一个重要性质：相邻平方数之间的差是连续的奇数，而平方根的整数部分正好在相邻平方数之间保持不变。这也可以推广到任意正整数n，√(n²+1)到√((n+1)²)的整数部分变化规律都是一样的。”

　　苏风艮拿起笔，在纸上写下结论：“所以，根号下从250²+1到260²的所有整数，它们的整数部分依次是：250（501个数）、251（503个数）、252（505个数）、…、259（519个数）、260（1个数），每个整数部分对应的数的个数构成首项为501、末项为519、公差为2的等差数列，总和为5100，正好是区间内的数的总数。”