《顺风》水水瀑布

9、第 9 章 相逢

　　综合实践课题拿到优秀的那一阵热闹慢慢淡了，日子重新埋进习题、周测和错题订正里。哲肖和许浩升入高中之后，一起报名了省内高中生数学联合竞赛。这场竞赛面向全省各校，含金量很高，不只是校内比拼，会有三所重点高中的尖子生同台角逐——他们本校，还有邻市的衡川中学、清越中学。江屹来自衡川中学，陆舟是清越中学的选手，两个人都是竞赛圈里小有名气的老手，多次闯进省赛，实力不容小觑。

　　赛前一周，竞赛组委会安排了赛前集中研学，几所学校的参赛选手统一安排在一栋教研楼的自习室刷题交流，方便大家磨合思路，也算是赛前热身。

　　午后阳光斜斜透过自习室巨大的玻璃窗，落在桌面上，把草稿纸的边缘晒得暖融融的。哲肖背着装满资料的双肩包推门进来的时候，许浩已经坐在靠窗的老位置，面前摊开一套往年省赛真题，草稿纸上层层叠叠写满推导式子。斜对角的位置，江屹和陆舟凑在一起，脑袋靠得很近，正低声讨论一道卡住许久的大题。

　　听见推门声，江屹抬眼望过来，笑着抬手示意：“你们俩来了，正好，我们卡在一道数论综合题上快四十分钟了，换两个思路一起琢磨琢磨？”

　　哲肖拉开许浩身侧的椅子坐下，把竞赛讲义、草稿本和自动铅笔一一摆好。许浩停下手里的演算，把笔搁在纸边，看向对面两人：“卡在哪一步了？”

　　陆舟把习题册转过来，纸面朝向他们。这道竞赛题题干不算冗长，但是条件藏得十分隐晦，融合了整除、不定方程和素数性质，是省赛里典型的压轴风格，和平日课堂里的基础题型完全不是一个难度层级。

　　“我们先是设了参数，整理出不定方程，试了小范围枚举，能找到几组特解，但是没法证明全部通解，也没办法排除掉不符合条件的解。”江屹指尖轻点题干，“我们试过因式分解变形，式子拆开之后太零散，一直找不到约束范围的不等式。”

　　哲肖俯身，一字一句慢慢细读题干，把关键限制条件默默记在心里。许浩也安静盯着题目，随手在草稿纸上快速勾勒出式子的雏形。自习室里瞬间静下来，只剩下笔尖摩擦纸张细碎的沙沙声，窗外偶尔传来几声飞鸟鸣啼，很快又归于平静。

　　哲肖顺着江屹他们刚才的思路往下推演，一步步写出变形过程，和他们一样顺利得到几组特解，可继续往下推导，变量的范围很难收紧，枚举无穷无尽，显然不能靠列举完成完整证明。他停下笔，眉头轻轻蹙起。

　　“单纯枚举肯定不行，竞赛答题要求严谨证明，只找出几组答案拿不到满分。”哲肖低声开口，“或许可以用放缩，先把未知数的上界限制住，缩小需要讨论的区间。”

　　“放缩我们刚才想过，但是拿捏不好尺度，放得太松起不到作用，放太紧又容易放缩过头，矛盾就不成立了。”陆舟摇摇头。

　　许浩盯着草稿纸上的式子看了片刻，忽然拿起笔，在空白处重新整理等式：“可以先做换元，把式子简化，再结合素数的奇偶性分类讨论。素数里面只有2是偶数，这是天然的分界点，分成两种情况，分开放缩，难度会降很多。”

　　这话一下子点醒了另外三人。江屹立刻拿起草稿纸，顺着奇偶分类的思路重新列式，陆舟在一旁帮忙核对每一步变形有没有出错。哲肖则配合许浩，一起计算放缩之后得到的取值上限。

　　几个人不再分成两组各自埋头苦想，四张草稿纸铺在桌面上，你写一句，我补一步，遇到有争议的推导步骤就停下来，各自说出自己的理由，慢慢验证对错。原本困住他们许久的难题，思路一点点清晰起来。

　　大概二十多分钟之后，许浩在纸页末尾写下最后一行验证过程：“这样区间就锁死了，剩下的数值只有有限几组，全部代入核验，就可以得到全部正整数解。”

　　江舟长长舒了口气，在草稿纸上把全部解整理出来：“终于通了，刚才卡在放缩那里绕了好久。你们两个这个分类讨论的思路确实巧妙。”

　　“也多亏你们先试了枚举，帮我们排除了很多弯路。”哲肖淡淡说道。

　　短暂休整，陆舟翻到讲义下一页：“还有一道平面几何题，是去年省赛的二试真题，辅助线特别难想，我们试了构造相似、三角法，都很繁琐。”

　　许浩饶有兴致地抬眼：“拿来看看。”

　　这道几何题图形简洁，条件不多，可是构图暗藏陷阱，很容易被表象误导，钻进复杂计算的死胡同。

　　江屹先说自己的尝试：“我用了正弦定理硬算，式子越算越复杂，角度关系绕在一起，根本化简不动。”

　　陆舟补充：“我试着构造相似三角形，找了三组都不对，找不到匹配的等角。”

　　哲肖仔细观察图形里的线段和角度，安静思考了很久，在原图上轻轻画出一条对角线：“试试构造调和点列？”

　　“调和点列？”江屹愣了一下，“我们一开始直接跳过这个方向了，觉得条件不足以支撑。”

　　许浩盯着哲肖画出的辅助线，眼睛微微一亮，接着往下延伸辅助线，标记出一组相等的交比：“条件里的角平分线刚好可以用来证明调和分割，一旦证出来，后面的平行、等长关系直接就能推导，不需要大量三角函数计算。”

　　四个人再次投入演算。这一次的节奏更快，有了上一题配合的默契，谁想到一步就立刻说出来，其他人同步验证。许浩擅长把握整体框架，一眼看清题目的考察方向；哲肖心思细腻，不容易漏掉边角隐藏的角度、线段关系；江屹计算功底扎实，复杂代数运算很少出错；陆舟对各类几何模型十分熟悉，可以快速联想到对应的结论。

　　他们来自三所不同的高中，平时在赛场上是对手，每个人都想拿到更高的奖项，想要压过其他学校的选手。可在这一刻，胜负被暂时放在一边，大家只是纯粹为了一道难题，交换思路、互相补足短板。

　　中途到了休息时间，江屹起身去接了四杯温水，挨个放在大家桌前。

　　“说实话，之前只听说你们学校两个数学竞赛很强，一直想着竞赛场上好好比一比。”江屹笑了笑，“今天一起刷题才发现，你们的思路和我们平时训练的方向差别挺大，学到不少。”

　　许浩端起水杯抿了一口，唇角带着一点惯有的好胜笑意：“等到正式比赛的时候，我们可不会手下留情。”

　　“那正好，”陆舟笑着接话，“赛场上面见真章。能遇到水平差不多的对手，这场竞赛才有意思。”

　　哲肖握着水杯，目光落在桌面上还没有做完的习题册上。他心里清楚，等到正式竞赛铃响，合上讲义，拿起笔，他们就是互相竞争的对手，代表各自的学校争夺名次。但赛前这段一起钻研难题的时光同样珍贵。不同学校训练体系不一样，思考问题的角度各有偏向，交流的时候，能看见自己思维里的盲区。

　　休息结束，他们重新坐回桌前，继续刷整套模拟卷。接下来的一套模拟限时卷，他们约定模拟正式赛场规则，各自独立完成，计时一百二十分钟，写完之后再统一对答案、复盘。

　　自习室里瞬间安静下来，只剩下笔尖落纸的沙沙声。哲肖沉下心，一道一道往下推进，遇到有难度的题目，先做好标记，优先保证基础题稳拿分数，再回头攻坚压轴。余光偶尔能瞥见身侧的许浩，写字速度很快，遇到复杂推导依旧从容；斜对面的江屹和陆舟，也都全神贯注，沉浸在题目之中。

　　时间一分一秒流逝，计时器响起提示音的时候，四个人几乎同时停下笔。

　　“收卷。”江屹笑着说。

　　大家交换草稿和试卷，互相批改核对。有几道题，四个人解法各不相同，却都能顺利得到正确答案。同一道代数题，哲肖用代数变形简化计算，许浩用函数单调性分析，江屹换元构造方程，陆舟则数形结合，用图像直观判断范围。

　　“一道题居然有四种靠谱解法。”陆舟看着几份卷子，感慨道，“平时在学校，大多只有老师给的一种标准解法，很少能见到这么多思路。”

　　复盘错题的时候，大家也不留情面，直接点出对方步骤里的疏漏。许浩指出哲肖一处不等式等号成立条件忘记验证；哲肖提醒陆舟几何证明里少写了一步判定定理；江屹和陆舟也指出许浩一道小题分类讨论漏掉一种特殊情况。被指出问题的人都认真记下，没有争辩，坦然承认疏漏。

　　夕阳慢慢下沉，金色的光线铺满整张长桌。一天的研学刷题快要结束。

　　收拾书本的时候，江屹把习题册合上：“明天还有一套模拟卷，难度比今天这套更高，听说和今年省赛的出题风格贴近。”

　　“期待。”许浩把笔袋拉上拉链，侧头看向哲肖，“明天继续？”

　　“嗯。”哲肖点头。

　　陆舟背起背包：“等正式竞赛那天，我们都发挥出最好水平。不管最后谁拿奖，能同台比一场，就很值。”

　　“赛场见。”哲肖看向另外两人，语气平静，却藏着少年人独有的、不卑不亢的较量之心。

　　他们来自三所不同的高中，目标一致，也互为对手。他们会在考场上为了分数、为了学校的荣誉全力比拼，认真分出高下；也可以在赛前，放下竞争的隔阂，围在同一张书桌前，一起拆解晦涩的竞赛题，交换思路，互相指正疏漏。

　　走出教研楼，晚风迎面吹过来，带着傍晚清爽的凉意。许浩和哲肖并肩走着。

　　“明天那套难题，你打算优先主攻二试几何还是数论？”许浩问。

　　“看题干，不过两种题型都不能放。”哲肖看向远处渐渐沉下去的落日，“正式比赛，我不会输给你。”

　　许浩低笑一声，眼底燃起熟悉的斗志：“我也是。”

　　少年人的竞争从来不是恶意的对立。难题是他们共同的关卡，彼此是互相映照的镜子。在一道道复杂的竞赛题目里，他们打磨思路，积蓄力量，一边并肩交流，一边默默蓄力，等着赛场之上，那场公平的对决。

　　风掠过长廊，卷起几张落在地上的草稿纸，纸上密密麻麻的公式与推导，藏着属于他们，关于思考、较量与相逢的故事。