《顺风》水水瀑布

11、第 11 章 国赛

　　省赛结果落定之后，仅仅三天，省竞赛组委会的通知就发到了各校：省一选手统一参加为期两周的国赛赛前集训，地点设在省教育学院，食宿统一安排，全天安排专题授课、限时测试和难题研讨。哲肖、许浩还有衡川中学的江屹，三个拿到省一的选手都在名单之内。陆舟没能晋级，消息出来那天，他单独给三个人发了消息，没有太多沮丧，只说会继续巩固基础，等来年再战，也祝他们在集训和国赛里发挥顺利。

　　报到日的清晨，哲肖背着塞满竞赛讲义、厚厚的真题集和草稿本的双肩包，和许浩在高铁站碰面。

　　和省赛之前轻松的研学不一样，这次集训氛围从一开始就沉了下来。国赛的难度和省赛完全不在一个层级，考察的思路更加刁钻，很多题型脱离常规的训练模板，考验的是临场构造、逻辑推导和极强的耐心。大家都清楚，集训不只是听课刷题，也是一次预演，集训期间的几次模拟测试成绩，也会作为国赛参赛的参考依据。

　　“听说这次授课的老师，有之前带过国赛金牌的教练。”许浩拖着行李箱，边走边说，“每天上午专题课，下午限时模考，晚上自由研讨，节奏很紧。”

　　“嗯，我看日程表了，每天晚上还要交一份错题复盘。”哲肖翻出手机里的集训安排，“数论和组合是重点，也是国赛最容易拉开分差的地方。”

　　抵达省教育学院，办完入住，两人分到不同宿舍。放好东西，他们直奔教学楼的大自习教室。教室很大，里面坐满了来自省内各个高中的省一选手，江屹已经到了，坐在靠窗的位置，面前摊开一本组合数学讲义。看见他们进来，江屹抬了抬手。

　　“来得正好，刚拿到今天下午第一场模拟卷，难度对标国赛一试。”江屹把复印件推过来两张。

　　哲肖和许浩拉开椅子坐下，简单收拾桌面，没过多久，集训开班仪式开始。主教练站在台前，语气平静却有分量：“能走到这里，你们每个人的基础都足够扎实。但国赛，考验的不只是你会不会定理，而是能不能在陌生的题干里，自己搭建证明的链条。接下来两周，高强度训练，会有很多题你们想一两个小时都没有头绪，这很正常。不要害怕卡壳，卡壳的地方，才是你们真正要补齐的短板。”

　　开班仪式结束，上午第一堂专题课开始，讲的是组合构造。老师没有一上来就堆砌结论，而是拿了好几道往届国赛真题，带着大家一点点拆解：为什么要这样构造，构造失败的时候该怎么调整思路，如何用反证法排除不合理的模型。

　　哲肖握着笔，飞快记笔记。组合一直是他相对薄弱的板块，省赛最后一道组合题没能完整做完，他心里一直记着这个短板。许浩坐在他旁边，笔记条理清晰，遇到老师抛出的思考题，偶尔会在草稿纸上快速试两种构造方式。江屹则擅长举一反三，老师刚讲完一种模型，他就能联想到几道相似的习题。

　　一上午的课程结束，教室里不少人都觉得烧脑。中午吃饭的时候，三个人坐在食堂角落，简单聊起课上的内容。

　　“这个构造思路太巧妙了，我自己看题，根本想不到往这个方向试。”江屹扒了一口饭，“平时在学校，很少练这么偏的模型。”

　　“不是记住模型就行，要学会根据题目的限制条件灵活改。”许浩说，“国赛不会出一模一样的原题，背套路用处不大。”

　　哲肖点点头：“我打算晚上把老师课上的例题重新独立推一遍，不看笔记，看看能不能自己复现整个构造过程。”

　　下午两点，第一场限时模拟测试准时开始。时长和正式国赛一试一致，一百二十分钟。试卷发下来，所有人立刻沉下心动笔。

　　前面几道题还算平稳，到第五题，是一道融合数论和组合计数的综合题，条件绕，限制多。哲肖顺着常规思路算了一会儿，发现计数会出现大量重复，分类方案越写越乱。他没有死磕，先做好标记，继续往后，把剩下能稳定拿分的题目全部写完。等回头再来啃这道题，时间已经不多。他尝试换一种分类标准，一点点剔除重复情况，堪堪在收卷前写出大部分过程，但是最后一组计数校验没有做完。

　　收卷之后，大家互相简单交流。许浩说这道计数题他用了容斥原理，步骤比较繁琐；江屹则用递推数列处理，思路更简洁。

　　晚上是自由研讨时间，教练不统一讲课，选手可以自由组队讨论错题。哲肖、许浩、江屹自然凑到一张桌子旁，对着下午的卷子复盘。

　　江屹把自己递推的写法摊开：“我一开始也卡在重复计数，后来发现，直接设f(n)代表符合条件的方案数，写出递推式，就不用拆成很碎的分类。”

　　哲肖仔细顺着他的递推式验算，恍然大悟：“我一直局限在直接分类枚举，没有想到转化成递推模型。”

　　许浩在一旁对比两种解法：“两种都可行，递推更省时间，但是不容易想到；分类稳妥，很容易算错或者漏情况。”

　　他们一道题一道题过，哪里丢分、哪里思路跑偏、哪一步证明跳步，全部摊开说清楚。别人指出自己的漏洞，没有人抵触，都认真记在错题本上。集训的氛围很奇妙，他们三个都是竞争者，都想拿到更好的成绩，可在难题面前，又愿意坦诚分享思路。

　　接下来几天，节奏一成不变。上午专题课，轮流主攻数论、代数、几何、组合四大板块；下午雷打不动限时模考；晚上复盘错题、互相讨论。每天的卷子难度节节攀升，经常一套卷子下来，大半人二试的大题只能写出零星步骤。

　　有一天晚上，他们卡在一道国赛风格的数论大题。题干给出一个关于素数幂的不定方程，要求证明仅有唯一一组正整数解。三个人各自试了很久：哲肖尝试因式分解加放缩，放缩尺度总是控制不好；许浩用阶的性质分析，推导到一半卡住；江屹试了模不同素数找矛盾，找到了几个可以排除的情况，但是始终锁不死全部范围。

　　窗外天色完全暗下来，自习室只剩下零星几个人，墙上时钟慢慢指向十点。

　　“要不要先停一停？”江屹揉了揉发胀的太阳穴，“一直钻这一道，容易钻死胡同。”

　　“再试十分钟。”许浩笔尖在草稿纸上轻点，“我刚刚模p的时候，发现一个新的同余关系，你们看看。”

　　他把草稿纸推到中间，哲肖和江屹凑过去看。顺着这个同余条件往下推导，果然可以排除掉一大半的取值，剩下的范围一下子缩小很多。哲肖眼睛一亮，立刻配合着继续做奇偶分析，江屹负责核验边界取值。

　　又过了二十分钟，完整的证明链条终于理顺。三个人长长舒了一口气，草稿纸上密密麻麻写满好几页。

　　“这种题，放在正式赛场上，能不能啃下来，全看一瞬间能不能找到合适的模。”哲肖把完整解法整理到错题本上，“差一个切入点，整道题就完全拿不下。”

　　“这也是国赛最考验人的地方。”江屹说，“省赛很多题有熟悉的影子，国赛经常是全新的包装。”

　　集训过半，安排了一次权重很高的综合模拟，成绩会直接上报组委会。这场模拟完全复刻国赛流程，上午一试，下午二试，严格计时，教练组统一阅卷打分。

　　这场模拟，哲肖发挥得不算顺畅。二试的几何题，他想当然用了一个结论，事后才发现这个结论成立缺少题干条件支撑，属于典型的误用定理，整道大题丢分严重。拿到批改后的试卷，他看着上面红色的批注，心里一阵发沉。

　　“这道几何，我犯了低级错误。”哲肖声音很轻，“想当然套用模型，没有先验证条件。”

　　许浩拿过卷子看了看，沉默片刻：“这种失误在国赛里是致命的。哪怕推导再漂亮，前提不成立，整段证明全部无效。我上次模拟也踩过类似的坑。”

　　江屹也劝：“现在发现反而是好事，还有时间纠正。正式比赛千万不能急着套模型，先核对条件。”

　　那天晚上，哲肖没有跟着他们一起讨论新题，单独把近几年国赛几何真题翻出来，每一道都强迫自己先找齐已知条件，再思考可以使用的定理，刻意改掉看到相似图形就直接套用结论的习惯。许浩没有打扰他，只是在离开自习室前，给他递了一张便签：稳住节奏，还有时间调整。

　　后面几天，哲肖刻意收敛急于求成的习惯，做题慢了一点，每引用一个定理，都在心里确认一遍条件。调整的效果很快体现出来，下一场模拟，他的几何题步骤严谨，没有再出现逻辑漏洞。

　　集训的最后两天，不再安排新的模拟测试。教练带着大家梳理整个集训的错题体系，帮每个人找准自己的薄弱板块，叮嘱赛场策略：优先保住有把握的题目，压轴题量力而行，步骤一定要写清楚，不要随意跳步。

　　集训收尾那天傍晚，夕阳把自习室的玻璃窗染成暖金色。三个人收拾厚厚的讲义和错题本，摞在一起，沉甸甸的。两周时间，刷过的卷子、写下的草稿、反复打磨的证明，填满了背包。

　　“明天就各自回去，休整两天，就要奔赴国赛考场了。”江屹把笔袋收好，看向哲肖和许浩，“这段集训，和你们一起刷题，收获很大。”

　　“我也是。”哲肖轻轻点头，想起无数个一起对着难题苦思冥想的夜晚，“之前几何容易踩的坑，这次总算纠正过来了。”

　　许浩靠在桌边，眼底带着熟悉的锋芒：“集训只是热身，真正的较量在国赛考场。希望到时候，我们都能发挥出这段时间练出来的水平。”

　　“赛场见。”江屹笑着伸出手。

　　哲肖和许浩也伸手，轻轻碰了一下。没有多余的狠话，一句赛场见，就藏着少年人之间对等的较量与尊重。他们来自三所不同的高中，目标都是向着更高的奖项冲刺，彼此是对手，也是一路同行、互相照亮的人。

　　晚上回到宿舍，哲肖翻开错题本，一页一页慢慢翻看。上面记着他所有卡壳、失误、思路跑偏的题目，旁边写着复盘和改进方法。这两周的辛苦、挫败、打通难题时的喜悦，全部留在纸页之间。他拿出手机，给陆舟发了一条消息，简单说了集训的情况。陆舟很快回复，祝他们国赛顺利。

　　第二天一早，哲肖和许浩一起坐上返程的高铁。车厢平稳向前，窗外的田野、树林向后缓缓退去。

　　“国赛考场，你最担心哪一类题？”许浩侧过头问。

　　“组合构造。”哲肖坦然回答，“虽然集训练了很多，但这种题变数太大，能不能找到合适构造，有时候很看临场状态。你呢？”

　　“数论的高阶同余。”许浩说，“式子复杂的时候，很容易算错。”

　　两人安静了一会儿。

　　“不管最后结果是什么，走到这里，已经比之前的自己强很多了。”哲肖望向窗外，“当然，我还是想赢。”

　　许浩弯起嘴角：“巧了，我也是。”

　　列车一路向前，载着两个少年，载着他们沉甸甸的笔记和积蓄许久的锋芒，向着国赛，向着那场最终的对决而去。集训的打磨已经落幕，所有沉淀下来的思路、经验、教训，都等待着在考场上落笔检验。

　　风穿过车窗，轻轻掀动放在腿上的讲义纸。新的战场，已经在前方等候。