《笃笃》岕茗恩

10、Chapter 10 第十章

　　数学联赛结束后的寒假，二人一起报名了老师开设的一对二补课班，专门用来预习高二数学内容。
　　补课的房间不大，只有一张长条课桌，授课的老师坐在正前方，他和李越恒并排坐在课桌一侧，没有其他多余的学生干扰，学习效率很高。
　　桌子长度不算多长，这也是他第一次和李越恒挨的这么近。
　　老师讲课节奏紧凑，翻开高二课本，目光看向两人：“咱们这个假期，把空间向量、导数应用，还有圆锥曲线的前置内容全部过完，你们底子好，进度可以往前赶一赶，但是别忘了你们高一下学期的课程。”
　　李越恒带头微微颔首回应：“老师，我们可以跟上。”
　　他也跟着点头：“课内基础内容不用反复铺垫，您可以直接讲推导逻辑。”
　　老师先是梳理立体几何的课内标准解法，着重演示了如何建立空间直角坐标系，寻找坐标点，求解法向量，计算线面距离与夹角。
　　整段推导步骤严谨，完全贴合高考阅卷的得分标准。讲完例题之后，老师放下粉笔：“现在你们各自演算一遍，我看一下完成情况。”
　　李越恒一板一眼，严格依照老师给出的答题格式，一步步进行计算，坐标取值、向量点乘、公式代入，没有跳过任何一个步骤，书写规范，便于后续检查失误。
　　他在完成标准解法之后，没有停下笔，开始在草稿纸上演算自己总结的向量投影算法，绕开了建系这一繁琐环节，大大缩减了计算量。
　　老师来回走动查看两人的演算过程，先拿起李越恒手边的草稿纸，面露赞许：“步骤书写非常标准，按照这个格式作答，大型考试不会丢失任何步骤分，足够稳妥。”
　　随后他看向他的演算过程，略微顿了顿：“投影公式这个思路很巧妙，我还没讲到拓展内容，你自己提前推导出来了。”
　　他有些不好意思地回答：“上次联赛的小题里用到过类似逻辑，我顺着延伸整理了一下。”
　　老师笑着叮嘱：“可以用来验算答案，但是做大题时，卷面必须书写标准解题过程，简便方法不能直接写在答题卷上。”
　　趁着老师转身去拿教辅资料的空档，两人低声交流起了刚才的题型。
　　“建系法虽然繁琐，但适用性广，无论图形是什么结构都能套用。”李越恒对着草稿纸核对坐标数值。
　　“投影公式更适合规则几何体，一旦图形不规则，就容易出现判定失误。”他用笔圈出了几个公式的适用限制条件，“可以把两种方法分开使用，大题写标准步骤，小题用速算。”
　　老师回到座位，恰好听到后半段对话，颇为欣慰：“能自主区分解法的适用场景，这才是学数学该有的思维。接下来我们进入导数板块，这是高二最难啃的内容。”
　　老师重点讲解含参函数的单调性判断，讲解如何依据导数零点划分区间，针对参数的不同取值范围展开分类讨论。讲到一半，老师抛出一个问题：“做这类题型，最先要注意的前提是什么？”
　　李越恒几乎没有停顿，立刻作答：“优先确定函数定义域，再去对导数零点进行大小比较。”
　　老师抬眼看向他，补充问道：“那容易失分的隐藏陷阱在哪里？”
　　他应声答道：“对数与根式自带取值范围，很多人分类讨论时会直接忽略这个限制。”
　　老师十分满意：“我只提过一次注意定义域问题，你们就牢牢记住了，一点就透，不用反复赘述。”
　　而后又列举了容易失分的几个关键点：优先确定函数定义域、比较导数零点的大小顺序、注意区间端点能否取等号。
　　每一条要点，李越恒都逐条记在笔记本上，划分出清晰的条目。他则在旁边补充批注，记录下容易忽略的隐藏限制。
　　课堂上，老师给出了两道衍生变式题，让两人独立完成解题。不到五分钟，两人便先后停笔。
　　老师走上前来查看，李越恒采用课堂讲授的构造函数法，完整完成了第二小问的证明过程，论证逻辑周密，分类区间划分得十分完整。
　　他则运用对数均值不等式进行简化证明，缩短了大半的推导篇幅，答案结果与李越恒完全一致。
　　老师对照两份解题步骤，缓缓开口：“你的解法规整严谨，阅卷老师挑不出毛病，然后你的技巧性更强，考场里能节省大量时间。两种解题思路，你们务必全部掌握。”
　　李越恒开口询问：“老师，如果竞赛答题，是否可以直接使用对数均值不等式？”
　　老师解答：“竞赛阅卷尺度更宽松，可以直接引用结论，校内考试建议带上简短推导。”
　　整节补课持续了三个小时，全程都在推进知识点，讲解例题，练习变式，纠正计算上的细节漏洞。
　　课程临近结束，老师看着两人，语气温和：“以你们两个人的理解能力，高二的课内内容完全不用担心，后续可以多投入精力备战数学竞赛。”
　　课程结束时，老师布置了课后作业，要求两人回去把当天讲解的向量大题与导数分类讨论题型完成复盘，整理出错题本。
　　离开补课班的时候，天色已经临近黄昏，两人顺着人行道步行回家，边走复盘今天课堂上学到的内容。
　　“空间向量的易错点基本都记全了，后续只需要多加刷题，保证坐标计算不出错就行。”他翻了翻手中的课堂笔记。
　　“导数的分类讨论是高二整个学年的重中之重，后续所有综合题都会在此基础上延伸。我打算接下来一周，专门做含参导数的专项训练。”李越恒整理着书包里的习题册。
　　顺着话题，两人又聊起了接下来整个高二阶段的学习安排。
　　课内方面，两人打算继续稳住年级排名，不让任何一门学科出现短板。
　　数学保持超前自学的节奏，始终比学校课堂进度快上一截，留出空余时间继续准备数学竞赛，冲刺省赛奖项，为之后的强基计划做准备。
　　在专业方向上，李越恒倾向于纯粹的数学理论研究，打算未来报考数学相关专业。他更偏向数理结合，计划选择工程类相关学科。
　　两人的备考节奏在他背地里的付出与稳妥安排下，基本保持一致，让人看不出任何破绽。