《骄龙翔云》伍俊良

16、第14章 突来的邀请信 陈俊龙在导

　　陈俊龙在导师高原的手下可以说是收获满满的！

　　一天，导师高原找到陈俊龙。

　　高原：陈俊龙，学院有这个意思，希望你能够留下来。

　　陈俊龙：谢谢老师了，让我考虑一下再说吧！

　　高原：这是学院对你的信任哟！

　　陈俊龙：老师，我很是希望留在你身边继续学习的，但是你看看我还有好多的具体问题需要解决！

　　高原：什么问题啊！

　　陈俊龙：我老婆小孩还在远处啊，不弄在一起总不是办法啊！

　　高原：那是，这是一个重要的问题,但你不可能再回到钢城去吧！

　　陈俊龙：如果没有更好的去处也只有回去了！

　　高原：那不就浪费人才了！

　　陈俊龙：老师，什么人才啊，生存是第一位的！

　　高原：咱们这个城市解决两地分居的问题是相当困难的！我也是爱莫能助的！不过我还有一个想法你看看如何？

　　陈俊龙：好！老师说来听听！

　　高原：你不是是滨海大学生毕业的吗？

　　陈俊龙：对，我是滨海大学生毕业的。

　　高原：我原来有个大学同学在那里作书记，你可能还记得，前几天他上我们这里出差我还招待过他。他们那里目前需要教师，尤其是带学位的更是欢迎。而且那边政策比较活，估计解决两地分居问题比我们这边好办得多！

　　陈俊龙：很好，高老师，滨海是我人生的重要转折点或者说是我的福地了。我很想去那里！

　　高原：那好！我晚上与他确认一下，如果没问题就让他发一个接收函过来。另外提醒一下哈，这事我感觉很好的，很恰当，你不要犹豫啊，弄砸了我得罪人，这种机会也是不多的，再者，他快退休了！

　　陈俊龙：老师，我一定珍惜！先谢谢了！

　　就这样，陈俊龙毕业后带着高兴的心情回到自己的母校工作。

　　安顿下来，陈俊龙第一个想到的是找老同学聊聊,顺便喝点小酒。

　　陈俊龙：吕老兄，好多年没见面了，没想到到咱们不仅仅是同学，还成了同事，真是缘分哟！

　　吕思远：那是那是，我们前世就注定了的！不仅仅是同学，还是同寝室的同学。先说好，今天我做东哈，也是尽地主之宜了！

　　陈俊龙：哪里哪里，今天我来，是拜见老兄的，今后你再说！

　　吕思远：别说那么多，这样，咱们先喝酒，然后约一个规则，谁输了谁做东，免得啰里吧唧的。

　　陈俊龙：这样也行！咱们今后来日方长！吕兄，自从那次我给你打长途电话之后就一直没有联系了，近来可好？

　　吕思远：谈不上好与歹，还行吧！

　　陈俊龙：后来你也考试了吧！

　　吕思远：考了，读了本校的在职研究生，毕业后又读了在职博士！留校的大多是这样的！

　　陈俊龙：很好！这样各个方面都照顾到了！

　　吕思远：家务事多，上有父母，下有小孩，老家的父母也年事已高了，隔三岔五回去看看！所以那个博士毕业也是遥遥无期呀！

　　陈俊龙：是啊，家庭负担是我们这代人的痛！你不知道我过去在老家吃了多少苦哟！

　　吕思远：是啊，老弟，你怎么样？上次电话你不是说结婚了？你老婆呢？有小孩了吗？

　　陈俊龙：自从读研究生开始，就一直两地分居，小孩也快5岁了！

　　吕思远：那今后咋办？

　　陈俊龙：这是一个棘手的问题！

　　吕思远：不如休了重新来个？

　　陈俊龙：岂敢岂敢！我一直奉行“从一而终的信条”，你是知道的。古人都有：“贫贱之交不可忘，糟糠之妻不下堂”啊，何况我们现代人！
　　吕思远：你说到现代人，现代人恰恰相反。

　　陈俊龙：不能这样说吧，那基本上还是个例，大多数还是好的！这不过是多元化潮流的出现！没想到我那次大学的演讲“生产力解放和个性解放的必然性和统一性”会变得如此离奇！

　　陈俊龙：你还记得我们大学时经常看的几本小说吗？

　　吕思远：什么小说？

　　陈俊龙：法国作家莫泊桑的长篇小说“漂亮朋友”，司汤达的“红与黑”以及亚历山大·小仲马的 “茶花女”！

　　吕思远：记得记得！还有更多一些！

　　陈俊龙：我们经常在寝室里神吹。任何时候，任何历史阶段都存在各种各样的的问题，尤其是经济发展的时代，社会变革时代，人们的思想越会出现交汇，撞击！因此人们，尤其是搞社会意识形态工作的人们，文学家，哲学家，社会学家，要倡导社会主旋律！宏扬正气，倡导主流！

　　吕思远：日隔多年，没想到你老兄还是这么大义凛然，哈哈！可能被社会所淘汰哟！

　　陈俊龙：我不是装啊！只是随便聊聊，其实每个人都是一样的。从心理学的角度上说，人们对于食物，精神，爱的获取与追求，都是一样的，关键是如何把握它！

　　心理学家马斯洛说，人类的追求是多样的，生存需要、享受需要、发展需要构成一个复杂的需要结构，并随着人们的生活的社会环境和社会历史条件的变化而变化。

　　陈俊龙：你看看最后一句，“随着人们生活的社会环境和社会历史条件的变化而变化”，所以在这个变化的过程中，有的人成为时代的弄潮儿，有的人却消沉于人流之中！

　　吕思远：你老弟还是当年那样，思维敏捷啊，说起话来一套一套的！

　　就这样，陈俊龙在滨海大学开启了他工作和生活的风帆！

　　那是几年后的一天，系里的网络开通了！也就是那个偶然的机会，网络上出现一个流传世界的由加州大学伯克得利分校发出的一个小通知“Bits and pieces of the nonnegative inverse eigenvalue Problem”！它的用词很滑稽“关于非负逆特征值问题的一些零星碎片”。

　　细看这个通知，真是不看不知道，一看吓一跳！它涉及前苏联伟大的数学家科尔莫哥罗夫（Kolmogorov）在1937年所提出的三个公开问题（猜想，conjecture），就是著名的三大公开问题，非负逆特征值问题NIEPs (Nonnegative Inverse Eigenvaluese Problems )。

　　通知的作者动员全世界的数学爱好者来共同研究！最关键的是，这三个猜想就是导师布置的
　　专著中那28个公开问题中的第3个、第4和第5个问题！

　　这让陈俊龙又想起导师布置的28个公开问题来！这几年都快忘记掉了！

　　1937年, Kolmogorov问一个问题: 何时一个给定的复数是一个非负矩阵的特征值？(注：阅读系统中公式无法显示)

　　这个问题很快被Suleimanova所证明：答案是，任何一个复数都是一些非负矩阵的特征值。Suleimanova 在1949年的论文中扩张了 Kolmogorov的问题成为三个问题：

　　问题 1 (NIEP). 确定n个复数是一个n阶非负矩阵的特征值的必要与充分条件。

　　问题1对于n>=4时仍然是未决问题，n=2时容易解决，n=3时已经被 Loewy 和 London 解决( R.Loewy and D.D.London, A note on an inverse problem for nonnegative matrices, Linear and Multilinear algebra, 6(1978), 83-90).

　　问题2 (RNIEP).确定n个实数是一个n阶非负矩阵的谱的充分必要条件.

　　问题2 仍然是未决问题当n>=5.

　　Fiedler 在1974年提出了下列对称非负的逆特征值问题：

　　问题 3 (SNIEP). 确定n个实数是一个非负对称矩阵的谱的充分必要条件。

　　问题 3对于n>=5时仍然是未决问题.

　　通知上说关于这三个问题，全世界有上百的学者在研究它，大约有300多篇相关的学术论文已经面世！

　　不仅仅如此，在全世界各地还多次召开专门的国际会议讨论它，有写论文的，有撰写相关的学术专著的，有广泛流传的网络资料.pdf文件的，上面那个通知就属于这类。

　　陈俊龙很快打个电话将这个问题向导师作了汇报。

　　高原：我也看到了这个通知，而且不久我要去国外参加一个相关的学术会议。难道你想证明它？估计很难！这么多的人都在研究，估计确实很难！

　　陈俊龙：肯定的，不过这些问题大家都在弄，倒是好玩的哈！

　　高原：好玩，你看看好不好玩吧！以为是小娃儿办家家！

　　陈俊龙：老师，我估计越难的东西人们越是容易走进死胡同！或许人们没有找到那个“偶然”！

　　高原：那么，对于这三个问题，你有什么新的认识吗？

　　陈俊龙：我倒是看了那个网络通知的内容并下载了一部专著，这部专著集中了目前全世界关于这三个问题的全部研究成果！

　　陈俊龙：不过从已经发表的论文或者已经宣布的结果看，现存的研究有许多局限性：比如有些作者对这三个问题的条件作了许多限制，作了许多假设，最多的是对n作假设归纳，但是归纳法好象对这个问题是行不通的！还有的作者就有限维的n进行证明，有讨论n为奇数的，有讨论n为偶数的，但是这样的证明只能是一个结果，不能从根本上证明问题，甚至结果都不能算；特殊的假设不能代替一般的问题证明；

　　另外，我还感觉有些作者的证明存在盲目性；有些作者的证明将问题过于复杂化。我们必须突破这样的几个问题！

　　高原：那我期待你的结果！

　　陈俊龙：这个肯定很难，不过还是那句话，期待偶然！

　　于是陈俊龙偶尔又翻翻书。

　　陈俊龙随时想，借助于其他手段！而且要完全不同于前面的方法！否则，这么多人研究它，肯定早已被被证明了！或许它在一些情况下根本没有解，怎么证呢？或者即使有解，也是在一些情况下才有的，因此必须首先讨论它的解的存在性条件！

　　一天，一个偶然的思维突然闪现，巧，真是巧！陈俊龙飞速地将它在草稿上记录下来，
　　然后反复思考，反复思考！举例，举例！最后编制一个计算机程序，用多个例子反复地验证，从实例再到理论，再从理论到实例！

　　计算机编程知识真正帮了陈俊龙的大忙！

　　于是，陈俊龙迫不及待地写到：

　　On the realizability of open non negative inverse eigenvalue problems

　　A b s t r a c t：This work is concerned with answering three open non negative inverse eigenvalue problems (NIEPs) which have been around for 70 years. Our approach is quite straightforward; it offers effective ways to judge whether a given NIEP is realizable.

　　1. Introduction

　　In 1937, Kolmogorov [1] asked the question: When is a given complex number an eigenvalue of some (entry-wise) nonnegative matrix The answer is: Every complex number is an eigenvalue of some non negative matrix [2]. Suleimanova([3], also see [4])extended Kolmogorov’s question in 1949 to the following problems, the non negative inverse eigenvalue problems (NIEPs).

　　Problem 1 (NIEP). Determine necessary and sufficient conditions for a set of ncomplex numbers to be the eigenvalues of a nonnegative matrix of order n.

　　Problem 1 is open for n>=4. The case n = 2 is easy, while the case n = 3 has been considered by Loewy and London [5].

　　In the same paper [3], Suleimanova also considered the following real nonnegative inverse eigenvalue problem and gave a sufficient condition.

　　Problem 2 (RNIEP). Determine necessary and sufficient conditions for a set of n real numbers to be the eigenvalues of a nonnegative matrix of order n.

　　Problem 2 is open for n>=5. Fiedler [6] posed the following symmetric nonnegative inverse eigenvalue problem in 1974.

　　Problem 3 (SNIEP). Determine necessary and sufficient conditions for a set of n real numbers to be the eigenvalues of a symmetric nonnegative matrix of order n.
　　Problem 3 is open for n>=5.

　　Throughout the article, R denotes the set of real numbers, and C denotes the set of complex numbers. Problems 1–3 have not yet been solved. These problems have been studied for the past 70 years (refer to the references) to find the realizability conditions; the achievements made and their limitations and practical applications were evaluated in [7]. and [8]. Readers also may refer to [9–25,4,26] for some previous results. In some articles, some necessary conditions and sufficient conditions for the three problems above have been given under some small dimension or special cases [7]. Also see the survey paper [26] and the book [2, Chapter VII]. The earliest study on the subject of the NIEP was perhaps due to the Russian mathematician Suleimanova [3] on stochastic matrices, followed by Perfect [22], Perfect(1955).The first systematic treatment of eigenvalues of symmetric non negative matrices can probably be attributed to Fiedler [6]. A more comprehensive study was conducted by Boyle and Handelman [10] using the notion of symbolic dynamics to characterize the conditions under which a given set is a portion of the spectrum of a non negative matrix or primitive matrix. General treatises on non negative matrices and applications include the classics by Berman and Plemmons (1979) and Minc [2]. Both books devote extensive discussion to the NIEP as well.

　　As [7, p. 94] says, most of the discussions in the literature center around finding conditions to qualify a given set of values as the spectrum of some non negative matrices. A short list of references giving various necessary or sufficient conditions includes Barrett and Johnson (1984), Boyle and Handelman [10], Friedland (1978), Friedland and Melkman (1979), Loewy and London [5], de Oliveira (1983), and Reams [24]. The difficulty is that the necessary condition is usually too general and the sufficient condition too specific. Under a few special sufficient conditions, the non negative matrices can be constructed numerically (Soules, 1983).

　　In this paper, we will use a general method to give the realizability conditions of Problems 1–3. Our approach is quite straightforward, and it offers an effective way to judge whether a given NIEP is realizable.
　　To facilitate the discussion, we will integrate the NIEP with the inverse eigenvalue problem (IEP), which is the following Problem 4.
　　Problem 4 (Inverse Eigenvalue Problem—IEP). Given a list of complex numbers Λ = { λ1 , λ 2 , . . . , λ n}, investigate whether there is an n × n real matrix with spectrum Λ and how to determine such a matrix.

　　2. Basic requirement of realizability of the IEP and the NIEP
　　……
　　3. An answer to the IEP
　　……
　　4. An answer to the NIEP: the realizability of Problems 1–3

　　In this section, we will answer the key problems, that is, the realizability of Problems 1–3. We note that the difference between the IEP and the NIEP is that the NIEP needs one to find at least one nonnegative matrix with a given list of complex numbers Λ = { λ 1 , λ 2 , . . . , λ n} as its spectrum rather than others. Based on this requirement, we give the following theorem.
　　Theorem 4.1. For a given list of complex numbers Λ = { λ 1 , λ2 , . . . , λ n}, if it has the closed property under complex conjugation,then the sufficient condition that has at least one nonnegative matrix A with spectrum Λ is that
　　……

　　出于兴奋，陈俊龙几乎迫不及待地将稿件投出到相关的杂志，并同时向多个国家的国际同行专家通报了研究结果！

　　时间过去2个月，陈俊龙很高兴地收到一个重要的国际期刊的论文接收函件！论文很快见诸于期刊！

　　再不久，一封邀请函不期不至，特邀陈俊龙参加一个重要的国际会议并作学术报告。

　　陈俊龙讯即将消息告诉他的导师。

　　高原：祝贺你哈！你没有辜负我对你的期望！多少学者为之趋之若鹜，都不能解决！

　　继续努力哈！

　　陈俊龙：老师，还是你指导有方啊！太有远见了！没想到我真与这28个公开问题有缘分呢！

　　高原：这个会议我也要参加的，我们在会议期间再见！

　　陈俊龙：好的，老师再见！