《震离坎兑》苏领大公主

49、四次根号33.1776亿1~39.0625亿 4次√33

　　午后的苏家小院里，葡萄架下摆着一张老木桌，桌上散落着几张写满算式的草稿纸。苏五震把计算器按得啪啪响，苏六坎捧着笔记本写写画画，苏七离托着腮盯着天空，苏八兑则抱着平板电脑刷着数据。

　　"你们看”，苏六坎头也不抬："开平方，3317760001的平方根是57600.00000868...不对，等等，57600的平方是3317760000，所以3317760001开平方约等于57600.00000868，再开平方就是四次方根，大约是240.000000018。"

　　苏八兑把平板转向大家："我列出来了。241的四次方是3370216321，242是3423163536，243是3476782401，244是3531079936，245是3586063201，246是3641739216，247是3698115041，248是3755197696，249是3812994001。这些数的四次方根都是无理数，但它们都落在240到250之间。"

　　苏七离感叹："同样的长度，代表的整数数量却差这么多。这让我想到，我们看世界的方式如果只用线性尺度，会错过多少东西。"

　　苏八兑笑了笑："七姐又开始哲学了。不过确实，数学里很多现象都是这样——表面上均匀的东西，换个角度看就完全不同。"

　　苏五震把草稿纸收拢："所以结论就是，在3317760001到3906250000这个区间里，四次方根从略大于240增长到250，区间内包含近五亿八千八百五十万个整数，但其中只有3906250000这一个数的四次方根是整数。其余所有数的四次方根都是无理数，且绝大多数无法用简单的根式表达。"

　　苏六坎合上笔记本："如果要找这个区间里四次方根最接近整数的那些数，那应该就是靠近各个整数四次方的两端——比如3317760001，它的四次方根只比240大一点点；还有3812994001，只比249的四次方大1。"

　　"最小的偏差就是1。"苏七离说，"240⁴+1和249⁴+1，它们的四次方根分别只比240和249大一个极小的量。用泰勒展开近似的话，(n⁴+1)^(1/4)≈n+1/(4n³)。所以240⁴+1的四次方根约等于240+1/(4×240³)=240+1/55296000，大约是240.000000018。"

　　苏八兑在平板上验证了一下："没错，和之前算的一致。这个偏差小到什么程度呢？如果把240放大到地球那么大，这个偏差还不到一粒沙子。"