《震离坎兑》苏领大公主

18、五次根号32768十万1~59049十万 5次√32

　　苏家兄妹四人围坐在书房里，桌上摊开一叠稿纸，墨迹未干。窗外秋阳斜照，映得纸上的数字泛着微光。

　　“五次根号3276800001到5904900000，”苏五震率先开口，手指轻敲桌面，“这个范围可不小。咱们先算算边界值。”

　　苏六坎立刻掏出计算器，噼里啪啦按了几下：“五次根号3276800001，约等于80.000000006，几乎就是80。而五次根号5904900000，正好是90，因为90的五次方就是5904900000。”

　　“所以这个，区间对应…”，苏七离，拿起笔在纸上写下，“也就是说，我们要讨论的是所有整数n，使得n的五次方落在3276800001到5904900000之间。那n从81开始，到90结束，共10个整数。”

　　苏六坎补充道：“而5904900000呢？59049是3的10次方，因为3¹⁰ = 59049。所以5904900000 = 59049 × 10⁵ = 3¹⁰× 2⁵× 5⁵ = 2⁵× 3¹⁰× 5⁵。而90⁵ = (9×10)⁵ = 9⁵× 10⁵ = (3²)⁵× (2×5)⁵ = 3¹⁰× 2⁵× 5⁵，完全吻合。所以上界是精确的五次幂。”

　　“所以这个区间左开右闭？”苏七离问。

　　“严格来说，3276800001 > 80⁵，因为80⁵ = (8×10)⁵ = 8⁵× 10⁵ = 32768 × 100000 = 3276800000。所以3276800001 = 80⁵ + 1，确实大于80⁵。而下界是80⁵ + 1，上界是90⁵。因此五次根号的范围是(80, 90]。”

　　苏八兑忽然眼睛一亮：“那我们可以列出81到89的五次方，看看它们在这个区间内的分布密度。比如，81⁵是多少？”

　　“这在区间内。”苏五震说，“而89⁵呢？89接近90，89⁵ = (90 - 1)⁵，可以用二项式展开：90⁵ - 5×90⁴ + 10×90³ - 10×90² + 5×90 - 1。”

　　苏七离接过笔：“90⁵ = 5904900000，90⁴ = 65610000，所以5×90⁴ = 328050000，90³ = 729000，10×90³ = 7290000，90² = 8100，10×90² = 81000，5×90 = 450。代入得：

　　89⁵ = 5904900000 - 328050000 + 7290000 - 81000 + 450 - 1
　　= 5904900000 - 328050000 = 5576850000
　　+ 7290000 = 5584140000
　　- 81000 = 5584059000
　　+ 450 = 5584059450
　　- 1 = 5584059449。”

作者有话说

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