《震离坎兑》苏领大公主

16、五次根号16807十万1~32768十万 5次√16

　　苏家兄妹四人围坐在老宅的书房里，窗外秋意渐浓，桌上摊开一本泛黄的《数韵手稿》。苏五震，年长沉稳，指尖轻敲桌面，率先开口："今日我们探讨一个有趣的问题——五次根号下从1680700001到3276800000之间的整数，哪些是完全五次方数？"

　　苏六坎推了推眼镜，接过话头："哥哥，这范围不小啊。1680700001到3276800000，跨度近16亿。不过我记得，完全五次方数的增长极快，我们可以先估算边界。"

　　苏七离翻开笔记本，笔尖轻点："让我算算。7的五次方是16807，那么70的五次方就是70⁵ = (7×10)⁵ = 7⁵× 10⁵ = 16807 × 100000 = 1680700000。所以70⁵ = 1680700000，而题目从1680700001开始，刚好比70⁵大1。"

　　苏八兑拍手笑道："姐姐真细心！那上限呢？80⁵ = (8×10)⁵ = 8⁵× 10⁵ = 32768 × 100000 = 3276800000。所以上限3276800000正好是80⁵。"

　　苏五震点头："很好。那么我们要找的是n⁵落在(1680700000, 3276800000]区间内的整数n。由于70⁵ = 1680700000，80⁵ = 3276800000，所以n的，取值范围，是71到80之间的整数。"

　　苏六坎皱眉："但题目说的，是1680700001到3276800000，左开右闭。70⁵，刚好，等于下界，不包含在内，所以n从71开始。而80⁵，等于上界，包含在内，所以n最大，为80。"

　　苏八兑拿出计算器，边算边念："71⁵ = 71×71×71×71×71。先算71² = 5041，71³ = 5041×71 = 357911，71⁴ = 357911×71 = 25411681，71⁵ = 25411681×71 = 1804229351。这个数在范围内！"

　　苏五震补充："继续。72⁵：72² = 5184，72³ = 373248，72⁴ = 26873856，72⁵ = 1934917632。也在范围内。"

　　苏六坎接着算："73⁵：73² = 5329，73³ = 389017，73⁴ = 28398241，73⁵ = 2073071593。"

　　苏七离记录着："74⁵：74² = 5476，74³ = 405224，74⁴ = 29986576，74⁵ = 2219006624。"

　　苏八兑兴奋地说："75⁵！这个好算，75² = 5625，75³ = 421875，75⁴ = 31640625，75⁵ = 2373046875。"

作者有话说

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