《震离坎兑》苏领大公主

116、五次根号320^5+1~330^5 5次√32

　　午后的阳光斜斜地照进苏家老宅的院子，葡萄架下摆着一张老榆木圆桌，桌上摊着几张草稿纸和四杯凉透的茶。苏五震和苏六坎兄弟俩刚搬来一把旧藤椅，苏七离与苏八兑姐妹俩便抱着笔记本从屋里走了出来。

　　"今天咱们讨论个有意思的。"苏五震用铅笔敲了敲桌面，"五次根号下320的五次方加1，到330的五次方加1，这十一个数的整数部分分别是多少？"

　　苏六坎："这还用讨论吗？320的五次方加1，开五次根号，肯定比320大一点点，整数部分就是320呗。"

　　苏七离翻了个白眼，"万一加的那个1让结果刚好跨过整数呢？比如某个数的五次方加1之后，五次根号刚好超过下一个整数怎么办？"

　　苏八兑："七离说得对，不能想当然。咱们得算清楚临界点在哪里。"

　　苏五震：设n为正整数，考虑五次根号下(n⁵+1)。显然n⁵ < n⁵+1 < (n+1)⁵，只要证明n⁵+1 < (n+1)⁵，就能说明这个五次根号的整数部分就是n。

　　苏六坎接过话头，"(n+1)⁵ = n⁵ + 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n + 1。所以(n+1)⁵ - n⁵ = 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n + 1。"
　　"所以320到330这十一个数，整数部分就是320、321、322……一直到330。"苏六坎在纸上写下一串数字，"这题也太简单了吧，五哥你是不是故意放水？"

　　苏五震端起茶杯喝了一口，不紧不慢地说："简单是简单，但你们有没有想过，如果加的不是1，而是更大的数呢？比如n⁵+k，k要多大，五次根号的整数部分才会变成n+1？"

　　苏七离眼睛一亮："那就是要n⁵+k ≥ (n+1)⁵，也就是k ≥ 5n⁴ + 10n³ + 10n² + 5n + 1。以n=320来说，这个k至少得是5×320⁴ + 10×320³ + 10×320² + 5×320 + 1。"

　　"算一下。"苏八兑已经在计算器上敲了，"320的四次方是10485760000，乘以5是52428800000，后面几项加起来……大概五百二十四亿左右。也就是说，320的五次方要加上五百多亿，五次根号才会变成321。"

　　苏七离若有所思："所以反过来，一个很大的数开高次根号，结果往往就在某个整数附近很小的范围内浮动。"

　　"没错。"苏五震说，"这也是为什么开方运算在数值计算里很重要，很多时候我们不需要精确值，只需要知道整数部分或者前几位小数，就能解决很多问题。"

　　苏八兑把草稿纸整理好："那这道题的答案就是——320到330，十一个整数，每个数的五次方加1再开五次根号，整数部分就是它本身。"