《震离坎兑》苏领大公主

113、四次根号310^4+1~320^4 4次√31

　　四重根号下的数字迷宫

　　午后的阳光透过雕花窗棂洒在青石板上，苏家兄妹四人围坐在庭院中的石桌旁。桌上摊开着一张宣纸，上面写着"四次根号310⁴+1至320⁴"的算式。

　　"这题目倒是有意思。"苏五震率先开口，他是家中长子，性格沉稳如雷，做事总爱追根究底。"四次根号下310⁴+1，这个数会是多少？"

　　苏六坎是弟弟，生性机敏如水，他托着下巴思索道："哥哥，310⁴的四次根号就是310本身。但加了1，会比310大多少？"

　　苏七离是姐姐，性格热情似火，对数学有着天生的敏感。"设x=310，那么我们要算的是(x⁴+1)^(1/4)。根据泰勒展开，当x很大时，(x⁴+1)^(1/4)≈x+1/(4x³)。"

　　苏八兑是妹妹，性格温和如泽，总是安静地倾听，关键时刻却能一语中的。"那310³是多少？"

　　苏六坎："310³=310×310×310=29,791,000。那么1/(4×29,791,000)≈1/119,164,000≈0.0000000084。所以310⁴+1的四次根号约等于310.0000000084，几乎就是310！"

　　苏五震，"也就是说，从310⁴+1到320⁴-1，这些数的四次根号都分别约等于310到319，而320⁴的四次根号正好是320。"

　　苏七离："那我们来算算这个区间里有多少个整数。320⁴-310⁴=(320²+310²)(320²-310²)=(102400+96100)×(102400-96100)=198500×6300=1,250,550,000。"

　　苏八兑，"题目问的是310⁴+1到320⁴，所以应该是320⁴-(310⁴+1)+1=320⁴-310⁴=1,250,550,000个数。"

　　苏五震若有所思："那么这1,250,550,000个数的四次根号，会落在什么范围内呢？"

　　苏六坎接过话头："最小的是(310⁴+1)^(1/4)≈310.0000000084，最大的是(320⁴)^(1/4)=320。所以四次根号的值域是从略大于310到320。"

　　"有意思的是，"苏七离补充道，"在这个区间内，四次根号的结果会经过311、312、313……一直到320这些整数点。每个整数点n对应的原数是n⁴。"

　　苏八兑忽然想到什么："那我们来算算，四次根号的结果是整数的情况有哪些？就是n⁴在310⁴+1到320⁴之间的n。显然n可以取311、312、313……一直到320，共10个整数。"