《震离坎兑》苏领大公主

110、五次根号290^5+1~300^5 5次√29

　　苏家兄妹的“五次根号”夜谈

　　夜色漫进苏家小院时，苏五震正蹲在石阶上摆弄计算器，屏幕上的数字跳得飞快。苏六坎抱着胳膊靠在门框上，眉头皱得能夹死蚊子：“哥，你算这五次根号290⁵到300⁵的和，到底想干嘛？”

　　“你懂什么！”苏五震头也不抬，“我最近在研究高次方程的近似解，这串数字看着乱，说不定藏着规律。”话音刚落，苏七离端着两杯柠檬水走过来，杯壁凝着的水珠滴在石板上：“规律？我看你是魔怔了。290到300一共11个数，每个数的五次方都大得吓人，你手算得算到明年？”

　　苏八兑跟在她身后，手里攥着本《数论基础》，闻言推了推眼镜：“姐，其实可以用二项式展开近似。比如295⁵，设x=5，(300-x)⁵=300⁵-5×300⁴x+10×300³x²-…，这样能简化计算。”

　　“还是小妹靠谱。”苏五震眼睛一亮，把计算器往石桌上一放，“我刚才算了前三个数：290⁵=2051114900000，291⁵=2100067673951，292⁵=2149901739552，光这三个加起来就6301084313503了，后面还有8个呢！”

　　苏六坎凑过来看了眼屏幕，倒吸一口凉气：“乖乖，这数字比我写小说的字数还多。”他忽然拍了下大腿，“哎，你们说，这五次根号的结果会不会是个整数？就像√16=4那样？”

　　“不可能。”苏七离立刻反驳，“五次方数的末位有规律：0⁵末位0，1⁵末位1，2⁵末位2…9⁵末位9，所以五次方数的末位和原数相同。但这里是11个连续数的五次方和，末位肯定是0+1+2+…+0=55的末位5，所以五次根号的结果，末位应该是5。但末位是，5的五次方数，比如5⁵=3125，15⁵=759375。”

　　苏五震忽然停下敲计算器的手，抬头看着天上的星星：“其实我一开始不是想找精确解。你们想，五次方程没有根式解，这是阿贝尔证明的。但这道题是求五次根号的和，不是解方程，说不定能拆成更简单的形式？”

　　苏六坎哈哈大笑：“哥，你这想法比我写小说的脑洞还大。11个连续数的五次方和是另一个数的五次方？这比中彩票还难。”

　　“难就不做了？”苏七离把柠檬水递给他，“咱们苏家的传统，不就是跟难题较劲吗？就像你写小说，明知道连载难，不还是每天更三千字？”

　　苏八兑点点头：“其实就算不是整数，算出近似值也很有意义。比如用牛顿迭代法，设y₀=480，y₁=y₀-(y₀⁵-S)/(5y₀⁴)，其中S是11个数的和，迭代几次就能得到很精确的结果。”