《乾坤巽艮》苏领大公主

39、根号36101~4万 √3610

　　午后的阳光透过落地窗洒在苏家老宅的书房里，四兄妹围坐在一张宽大的红木桌旁，桌上摊开着一本厚重的《数学之美》。苏清乾推了推眼镜，率先开口：“今天我们来聊聊根号36101到40000这个区间，这里面藏着不少有趣的数学规律。”

　　“没错。”苏清乾点头，拿起笔在纸上写下，“190²=36100，200²=40000，所以这个区间的平方根确实都在190到200之间。而且你们发现没有，36101到40000正好是9000个连续整数，它们的平方根从190.0026...一直增长到200。”

　　“十坤观察得很仔细。”苏清乾微笑着说，“这10个完全平方数的平方根都是整数，分别是191到200。而其他数的平方根都是无理数，无限不循环。有10个数的平方根是有理数，占比不到千分之二。”

　　苏风艮若有所思：“在191到200这几个点上会有‘台阶’，因为那些点的函数值是整数。”

　　苏清乾，赞许道，“这个规律可以推广到所有平方数。而且你们注意到没有，36101到40000这个区间的起点36100=190²，终点40000=200²，正好是10个连续，整数的平方范围。如果我们把区间扩大到36100到40000，就包含了11个完全平方数，从190²到200²。”

　　苏风艮：“哥，那这个区间里特殊的数呢？比如平方根近整数的数？”

　　苏月巽立刻回答：“有的！比如√36481=191，那√36480≈190.997，√36482≈191.003，这两个数的平方根都非常接近191。同样，在36864附近也有类似的情况。”

　　“对，这些数在数论里叫做‘几乎平方数’。”苏清乾解释道，“它们的平方根与某个整数的差非常小。在密码学和数值计算中，这类数有特殊的应用价值。”

　　苏十坤拿起笔，在纸上写写画画：“我算一下，√36101≈190.002631578，√36102≈190.005263158，这两个数的小数部分好像有规律……”

　　“你发现了吗？”苏月巽凑过去看，“190.002631578和190.005263158，小数部分的前几位是0026和0052，差不多是2倍关系。这是因为√(36100+n)≈190+n/(2×190)=190+n/380，当n很小时，这个近似很准确。”

　　“这就是泰勒展开的一阶近似！”苏风艮恍然大悟，“用f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)，这里f(x)=√x，a=36100，f'(a)=1/(2√a)=1/380。”