《乾坤巽艮》苏领大公主

120、三次根号340^3+1~350^3 3次√34

　　苏清乾、苏十坤、苏月巽、苏风艮四人围坐在苏家老宅的庭院里，石桌上摊开着草稿纸和几本数学笔记。夕阳的余晖洒在青石板上，将四个人的影子拉得很长。

　　"我最近在研究立方数的规律，"苏清乾率先开口，他是四人中最年长的，也是数学功底最扎实的，"你们有没有想过，从340³到350³之间，每一个整数加1之后，开三次根号会得到什么？"

　　苏十坤是清乾的妹妹，性格活泼，一听这话就来了兴趣："哥，你是说计算∛(340³+1)、∛(340³+2)……一直到∛(350³)？这得有几千个数吧！"

　　"没错，"清乾点点头，"340³等于39304000，350³等于42875000，中间差了将近三百五十万个整数。如果逐一开三次根号，结果会是什么样子？"

　　苏风艮是风巽的弟弟，年纪最小但好奇心最旺盛，他抢着说："我知道！这些结果肯定都在340到350之间，因为340³小于这些数，而这些数又小于350³。"

　　"风艮说得对，"苏月巽温柔地补充道，她是四人中最细心的，"但更精确地说，∛(340³+n)的值应该略大于340，n越大，结果越接近350。不过这个'略大于'到底大多少，倒是值得算一算。"

　　清乾拿起笔，在纸上写下一个公式："我们可以用泰勒展开来近似。∛(a³+n)，当n远小于a³时，有∛(a³+n)≈a+n/(3a²)。"

　　月巽笑着摸了摸弟弟的头："风艮越来越聪明了。不过要注意，这个近似公式在n比较大的时候误差会增大。比如当n接近350³-340³的时候，也就是三百多万的时候，近似值就会和真实值有明显差距。"

　　"我明白了！"十坤恍然大悟，"就像我们站在340这个点上往远处看，一开始视野很窄，只能看到很小的变化，但随着n越来越大，我们的'视野'也在扩大，直到看到350。"

　　清乾微笑着说："十坤的比喻很形象。其实这就是微积分的思想——在局部用线性函数逼近非线性函数。三次根号函数在340附近的导数就是1/(3×340²)，这正是我们近似公式中那个系数的来源。"

　　风艮突然想到什么："那如果我们把这个区间分得更细呢？比如不只算整数，还算小数？∛(340.1³)、∛(340.2³)……这样是不是能更清楚地看到变化规律？"

　　"当然可以，"月巽说，"而且你会发现，当底数从340增加到341时，立方值增加了大约3×340²+3×340+1=350521。也就是说，每增加1个单位的底数，立方值增加的量本身也在增加。这就是立方函数的'加速度'。"