《囚徒》半酣棠

10、同赴 周二集训

　　周二下午，第一次正式集训。

　　陈烬野到竞赛室时，许昭珩已经坐在里面了。不是上次的位置——他挪到了靠窗那一侧，旁边的座位空着，桌上放了一支笔。

　　陈烬野走过去，坐下。

　　许昭珩正在翻竞赛题集，翻到数列那一章。听见他拉椅子的声音，头也没抬，只说了一句：“这题我昨天想了一晚上。”

　　陈烬野侧头看了一眼。一道关于递推数列的证明题，题干两行，参数套着参数。已知a?=1，a???=2a?+n，求证数列的通项公式。

　　“想出来了吗？”

　　“想出来了。”许昭珩把草稿纸推过来，“但我的方法和答案不一样。答案用的是数学归纳法，我用的是放缩。”

　　陈烬野低头看他的草稿。字迹很工整，每一步推导之间都留了空行，关键步骤用铅笔在旁边标了序号。他顺着序号往下看。许昭珩的思路是把递推式逐步展开，每一项都用前一项表示，然后累加。到第四步时，他把一个和式放缩成了等比数列求和的形式。

　　“这里。”他指着其中一行，“放缩的方向。”

　　许昭珩凑过来。肩膀和陈烬野的肩膀之间隔着不到一个拳头的距离，呼吸落在草稿纸边缘，纸页微微动了一下。

　　“放缩的方向怎么了？”

　　“反了。你放大的时候，不等号方向应该反过来。”

　　许昭珩盯着那行式子看了几秒，眉头皱起来，又松开。“真的反了。我把n+1项放大了，但我要证的是上界，应该缩小。”

　　他把草稿纸拉回去，拿起笔在旁边重新写。写到一半又停住，把笔放下。“我昨天想了三个小时。”

　　语气里没有懊恼，只有一种“原来如此”的平静。他把划掉的式子又看了一遍，在旁边写了一个小小的“反了”，字迹比正文轻，像给未来的自己留一个记号。

　　老林走进来时，教室里已经坐满了。和上次选拔不同，这次只有五个人。五个座位，五套卷子，五支笔。教室显得比平时空了许多，连翻书声都有回音。另外三个人陈烬野都认识——一个是三班的，戴眼镜，做题时喜欢咬笔帽；两个是五班的，一男一女，坐在一起，草稿纸共用一张。女生写几笔就侧头看男生的进度，男生被她看了几次之后，用手肘把草稿纸往她那边推了推。

　　老林把卷子发下来。“今天不讲新课，做一套模拟题，计时九十分钟。做完之后互相批改，把对方的解题思路吃透。”

　　他顿了顿，目光扫过五个人。

　　“你们五个，是全年级数学最强的。但强和强之间，也有差距。今天这套题，不是让你们证明自己比别人强，是让你们看清楚，别人的思路和自己的有什么不同。看清楚了，才能学过来。”

　　卷子发到陈烬野面前时，老林多停了一下。“你批许昭珩的。”

　　然后又走到许昭珩面前。“你批陈烬野的。”

　　计时开始。五支笔同时落纸。

　　陈烬野做题的速度依然最快。第一题函数综合，十分钟。题目给了一个复合函数，要求讨论参数范围。他先求导，画出导函数的符号变化表，然后根据极值点位置分类讨论。三种情况，边界条件标得清清楚楚。

　　第二题几何不等式，十五分钟。一个不规则四边形，两条对角线，三个已知角，一个面积条件。他在原图上加了两条辅助线——顶点到底边中点，中点到对角——两条线交叉，把图形切成四个面积相等的部分。然后从面积相等推出等高，从等高推出底边比例，一路写到结论。

　　第三题数列证明，他停了一下。这道题的结构和许昭珩刚才问的那道很像——递推式a???=p·a?+f(n)，但参数换了，边界条件也换了。他看了半分钟，没有用数学归纳法，而是用迭代法把通项展开，再用放缩控制余项。写到第七步时，他把一个和式放缩成了等比数列求和，边界刚好卡在收敛的临界值上。

　　九十分钟到。老林站起来收卷，把五个人的卷子按配对交换。陈烬野拿到许昭珩的卷子时，第一眼注意到的是字迹。许昭珩的字比他的大，每个字都写得很开。解题步骤之间留了很宽的空行，关键推导旁边用铅笔标了序号，有些序号旁边还画了小圈。

　　顺着步骤往下看。第一题，思路和他一样——求导，画表，分类讨论。但计算过程多写了三步。不是啰嗦，是把每一个中间结果都写出来了。求导之后把导函数的因式分解过程完整写了一遍，表格里每一格的符号变化都标注了原因。

　　第二题，辅助线的画法和他不同。他画了两条——顶点到底边中点，中点到对角。许昭珩画了三条——除了那两条，还多连了一条从底边另一个端点到对角的线。那条多余的线旁边用铅笔画了一个问号。旁边写了一行小字：“这条好像用不上。”但后面的证明过程中，他只用到了前两条。

　　第三题，许昭珩用的是数学归纳法。先验证n=1时成立，然后假设n=k时成立，推导n=k+1时的表达式。归纳假设代入之后，他用了和答案一样的放缩方式。步骤完整，没有跳步。结论是对的。

　　他把卷子翻过来，在空白处写批注。第一题：计算可以精简，表格不必写得那么细。第二题：辅助线画两条就够了。第三题：归纳法可行，步骤完整。写完，把卷子推回去。

　　许昭珩也在他的卷子上写了批注。第一题旁边写着“快”，第二题旁边写着“辅助线简洁”，第三题旁边写了两行——“放缩的边界条件我没想清楚，能讲一下吗？”

　　陈烬野拿起笔，在那行字下面写：你草稿上那道放缩题的边界在定义域里。这道也是。先把定义域锁死，再选放缩尺度。

　　把卷子推回去。许昭珩低头看了大概一分钟，然后拿起笔在旁边重新写了一遍放缩过程。这次他先在草稿纸边缘写下定义域的范围，然后才选放缩尺度。边界条件标得很清楚。写完，在那行式子旁边画了一个圈，然后把笔放下。

　　老林拍了拍手。“互相批改完了？有什么问题，现在问。”

　　三班那个戴眼镜的男生举了手。“第三题放缩的尺度怎么选？”

　　老林看了他一眼。“你批的是谁的卷子？”

　　“赵子昂的。”

　　“他的放缩尺度选对了吗？”

　　“选对了。但我不知道为什么选那个。”

　　老林走到黑板前，把第三题的放缩步骤写了一遍。“放缩的尺度不是猜的，是从结论倒推的。你要证的是小于某个数，就从那个数往回推，看每一项需要控制在什么范围内。”他一边写一边讲，粉笔在放缩号上方标了一个反向箭头。写完转过身，“记住了吗？”

　　戴眼镜的男生点了点头。

　　许昭珩在下面，把老林画的箭头也画在了自己草稿纸上。然后他在旁边写了一行字：“结论倒推。”字迹很轻。

　　集训结束时，天色已经暗了。五个人陆续收拾东西离开。三班的男生把卷子折成四折塞进口袋，五班那对情侣也一前一后走出去，女生还在问男生第三题换元的思路。教室里只剩下他们两个人。

　　许昭珩把笔袋塞进书包，拉链拉了一半，停住了。

　　“以后每天下午都有集训？”

　　“周二、周四、周五。”

　　“那其他时间呢？”

　　陈烬野想了想。“做题。”

　　许昭珩笑了一下，把拉链拉上。“我问的就是这个。其他时间，一起做题吗？”

　　陈烬野把书包甩上肩膀。“随你。”

　　他往门口走。身后传来椅子被推回桌下的声音，然后是脚步声，很快跟了上来。两个人顺着楼梯往下走。实验楼的楼梯间没有窗户，只有墙角亮着一盏应急灯，光线是惨白的，把影子投在墙上，拉得很长。走到二楼拐角时，墙上那张社团海报又翘起了一个角，许昭珩伸手按了一下，手一松又翘起来了。

　　“你便利店周几上班？”

　　“周一空档，周五集训结束去。周六周日白班。”

　　“周三呢？”

　　“夜班。”

　　许昭珩沉默了一下。脚步声在楼道里回响，一重一轻。

　　“那周三放学后，你去便利店之前，有时间吗？”

　　陈烬野停了一步。“有。大概一个半小时。”

　　“够做一套小题。”许昭珩说。

　　陈烬野没有接话。继续往下走。走出实验楼时，梧桐道的路灯已经亮了。橘黄色的光落在梧桐叶上，把叶子照成半透明的颜色。他往公交站的方向走，许昭珩跟在旁边，步调已经不需要调整就自然合上了。

　　走到校门口时，陈烬野停下来。许昭珩也停了下来。

　　“周三，”许昭珩说，“我等你。”

　　陈烬野看了他一眼。许昭珩站在路灯下，眼睛里映着橘黄色的光。

　　“嗯。”

　　公交车从远处驶来，车灯在暮色里划出两道淡黄的光。

　　“车来了。”许昭珩说。

　　陈烬野往站台走。走了几步，停住。没有回头。

　　“明天见。”

　　身后安静了一瞬。

　　“明天见。”

　　他上了车，径直走到最后一排靠窗的位置坐下。车子晃晃悠悠往前开，窗外的梧桐叶被路灯照得透亮。

　　周三放学后，教室里的人渐渐走空了。值日生在擦黑板，粉笔灰扬起来，在夕阳里浮成一片金色的雾。陈烬野坐在座位上，面前摊着竞赛题集。

　　许昭珩从食堂回来，手里拎着两个面包，把其中一个放在他桌角。豆沙馅的，透明包装袋上印着红色字。

　　“先吃。吃完再做题。”

　　陈烬野看了一眼面包，没有说什么。撕开包装袋，咬了一口。豆沙很甜，甜得有点发腻。

　　许昭珩在他旁边坐下，也撕开自己的那个。两个人安静地吃面包。窗外有人在打篮球，篮球砸在篮板上的声音远远传过来，闷闷的，一下一下。偶尔有喊声——“传球！”“这边！”——然后又是篮球砸篮板的声音。

　　吃完，许昭珩把包装袋团成一团塞进口袋，翻开题集。“我找了一套小题，数列和不等式混合，六道，限时一个半小时。够做到你去便利店。”

　　他把卷子推过来。不是打印的，是手抄的。字迹工整，每道题之间用横线隔开，题干旁边用红笔标了难度——三道三星，两道四星，一道五星。纸张是A4纸对折裁成的，边缘用尺子比着撕的，很齐。

　　陈烬野看着那张手抄卷子。“你什么时候抄的？”

　　“昨晚。”许昭珩把笔拿起来，“别问了，计时开始。”

　　六道题，一个半小时。陈烬野做题，许昭珩也做题。两个人隔着一道过道的距离，笔尖划过纸面的声音交替响着。有时是陈烬野的快一些，一行接一行，几乎没有停顿；有时是许昭珩的快一些，写到关键步骤时笔尖会不自觉地用力，纸面发出细微的沙沙声。

　　窗外的光线从淡金色变成橙色，再变成灰蓝。篮球声不知道什么时候停了。值日生提着水桶从走廊经过，水桶晃荡的声音由远及近，又由近及远。教室里日光灯自动亮起来的时候，两个人都没有抬头。

　　做到第五题时，陈烬野停了一下。这道题的结构和老林上周讲的那道函数综合题很像，但问法变了——不是求参数范围，是证明一个关于函数值的不等式。他盯着题干看了半分钟，然后在草稿纸上画了一个坐标系。不是从函数入手，是从几何意义倒推。把不等式的左右两边看成两个函数的图像，比较它们在某一段上的位置关系。坐标系画完，他标出两个关键点，连了一条辅助线。

　　许昭珩在旁边，笔尖也停了。他没有凑过来看，只是停了一下，又继续写自己的。

　　一个半小时到。许昭珩把笔放下。“收卷。”

　　两个人交换卷子。陈烬野低头看许昭珩的解题过程。六道题，做了五道，最后一道空着。空着的那道旁边写了一行小字：“试了放缩和归纳，都不对。明天问老林。”不是空白，是试过了然后承认不会。小字下面还画了一条波浪线。

　　陈烬野把卷子翻过来，在空白处写了几行批注。写到第三行时，许昭珩在旁边开口：“你那道五星的，从几何意义倒推，我怎么没想到。”

　　陈烬野没抬头。“你用的是代数方法？”

　　“嗯。设了三个参数，算到后面太复杂了，没算完。”许昭珩把草稿纸推过来。上面密密麻麻全是式子，设了a、b、c三个参数，代进去之后展开成了半页纸的多项式。他自己在式子旁边画了一个哭脸。

　　“方向对的。”陈烬野说，“换元的时候把其中一个参数用另外两个表示，能简化。”

　　许昭珩沉默了几秒，然后拿起笔在旁边写了几行。这次他只设了两个参数，第三个用前两个表示。写到第五行时，多项式缩短了一半。他把笔放下。“真的简化了。”

　　陈烬野把批注写完，推回去。许昭珩低头看，没有再说话。窗外已经完全暗下来了。教学楼里的灯一盏一盏亮着，梧桐道的路灯也亮了。远处食堂的方向传来收工的嘈杂声——不锈钢餐盘碰撞的叮当声，水龙头冲刷地面的哗哗声，周姨的大嗓门在喊什么人。

　　陈烬野站起来。“我去便利店。”

　　许昭珩也站起来，从书包里拿出一样东西递过来。一盒牛奶，原味的，盒身上凝着细密的水珠，刚从食堂冰箱里拿的。

　　陈烬野接过来，塞进书包侧袋。“走了。”

　　他走出教室。走廊里空荡荡的，脚步声被墙壁弹回来，变成重叠的回音。走到楼梯口时，身后传来许昭珩的声音。

　　“周五集训，别迟到。”

　　陈烬野没有回头。他抬起手，摆了一下。

　　便利店夜班。老吴在门口抽烟，看见他来，把烟掐了。“今天周三，你平时周三不来的。”

　　“调班了。”

　　老吴没再问。陈烬野走进更衣室，换上那件深蓝色的工作服。站在收银台后面，扫码、报数、收钱、找零。周三晚上客人比周末少，但也不算冷清。八点多的时候进来一个穿睡衣的中年女人，买了一袋盐和一瓶酱油，付钱时在包里翻了很久，硬币掉了一地，陈烬野帮她捡起来。九点多进来两个中学生，穿着隔壁初中的校服，在冰柜前站了很久，最后拿了两根最便宜的冰棍。九点半，一个外卖员冲进来买了瓶矿泉水，拧开站在门口喝完，把空瓶子扔进垃圾桶，又冲出去。

　　他的目光偶尔落在对面货架的价签上。牛奶，原味，三块五。和许昭珩给的那盒一模一样。价签是手写的，黑色马克笔，字迹不太工整。

　　十点下班。换回校服，走出便利店。街上人少了，老路灯还亮着。光晕微弱，照出一小片干燥的水泥地。他在光里停了半步，然后往巷子里走。

　　回到家，他把牛奶从书包里拿出来，放在桌上。盒身上的水珠已经干了，在纸盒上留下几道浅浅的水痕，像地图上的等高线。手机亮了，许昭珩发了一条消息。

　　“到家了？”

　　他打了两个字：“到了。”

　　对面显示“正在输入”，持续了几秒，然后弹出来一张照片。橘猫蹲在电动车座垫上，睁着眼，没有眯。琥珀色的眼睛盯着镜头，瞳孔在闪光灯下缩成一条细缝。座垫是黑色的，猫是橘色的，对比很鲜明。

　　下面附了一句：“今天没睡。它在等我。”

　　陈烬野看着那张照片。

　　他打了两个字：“像你。”

　　消息发过去。对面安静了几秒，然后弹出来一条：“哪里像？”

　　陈烬野没有回。锁屏。把手机放在桌边。

　　月光从窗帘缝隙里渗进来，落在那盒牛奶上。他拿起牛奶，拧开盖子喝了一口。凉的，原味的。和上次那杯豆浆是一个味道。

　　他把牛奶放在桌上，没有喝完。盒口敞着，月光照在里面的液面上，微微晃动。