世 界 学 术 危 机
——从四色猜想证明谈起
数学的发展大致可划分为四个时期，从公元前6世纪到17世纪为初等数学时期，从17世纪初到19世纪初为变量数学时期，从19世纪初到现代为现代数学时期。自从计算机出现以后，一门以离散数学为名称的学科被提了出来。数学的发展虽然经过了四个时期，但每一个时期都产生了数学证明危机。
数学第一次危机发生在西方古希腊时期。古希腊学者早在公元前5世纪就对数学进行
了研究，其中最著名的是毕达哥拉斯学派。这个学派从“万物皆数”的观点出发，他们提出的数是指整数与整数之比。也就是说，这个学派提出了数可以写成分数的形式。但是，这个学派中一个名叫依帕索的成员在研究单位正方形对角线的数量表示时发现了这条对角线怎么也不能用他们提出的数学定义来表示。这样，根号2的出现招引了一个以研究数的性质为目的的学派产生。这个学派对根号2进行了深入研究，想法弄清它究竟能否用整数和它的比来表示，结果导致了根号2与1的不可公度的证明。
假设正方形的对角线与边长之比可以写成既约的两个整数之比p比q于是，据毕达哥拉斯定理存在：P=2q.
∵2q是偶数，即q是偶数，
∴P应是偶数｛P不可能是奇数，因为任一奇数2n+1的平方（2n+1）=4(n+n)+1必定是奇数｝。
又∵ P比q是既约的，
∴q必定是奇数。
P既然是偶数，
可设P=2a
就有P=4a=2q
得 q=2a.
从以上证明中我们可知，q是偶数，q也必定是偶数。但q同时又是奇数，这就产生了矛盾，因此，根号2不可能用整数之比来表示。毕达哥拉斯学派之所以在根号2出现时产生了矛盾，是数学界产生的第一次危机。数学产生的第一次危机是数学证明仅仅证明了根号2的存在，并不理解根号2的产生是由于数学研究对象由数向形的扩大，是数学发展的结果。因此，数学第一次数学危机上提出了数学证明不能定性的危机
数学第二次证明危机产生于微积分的基础，即极限的认识上，显示了数学在推理上的矛盾。在微积分创始时期，无论是牛顿，还是莱布尼兹对微积分的基础，即极限都是含混
不清的。英国牛顿从运动学观点提出了“流数术”，而德国莱布尼兹是从几何学角度提出了“一种求极大极小和切线的新方法，以及这种新方法的奇妙类型的计算”。两者的提出都是
模糊不清的。例如，牛顿提出的“刹那”或无穷小量，有时为零，有时不为零而是有限小
量。莱布尼兹提出的dx，dy也是含糊不清的，dx表示两个相邻的x间的差是什么意思，极限是什么》无穷小量是什么等都是十分模糊。
柯西虽然可以说是微积分的奠基者，但是，他并没有使微积分建立在严密的基础上。
在两件事上使柯西产生了推理矛盾。其一是如何确定无理数的定义？柯西提出无理数是“以有理数为项的无究序列的极限”。这个定义实际上是犯了循环论的错误。因为，这个定义并
没有说清楚极限。若将极限看成有理数，这就等于说无理数是有理数。若将极限看成是无理数，由于还没有定义，在逻辑上是不存在的。其二是对连续可导的认识上。柯西认为，
1
连续曲线各点的切线是应当存在的，也可以说连续函数必可导。但是，1872年魏斯找到了一个虽连续但处处不可导的函数。
∞
F(x)=∑ b″cos(a″nx)
n=0
是什么原因使柯西产生了逻辑推理上的矛盾呢？直到19世纪后期，数学家认为原因在于微积分基础的极限概念上。从理论上说，柯西的极限概念也未真正地摆脱几何直观，真正地建立在纯粹而严整的算术基础上。这样，在柯西看来极限常常表现了一种不确定性。这才使数学在数学在逻辑推理上产生了第二次危机。
数学的第三次证明危机产生于集合的提出和发展上。直接促使集合论产生的一个关键，就是函数的三角级数表示问题。1882年傅立叶在《热的解析理论》中提出函数可以用三角
级数表示。傅立叶提出：“任何函数，包括不连续函数和没有解析式而只能图示的函数，都可以用三角级数来表示”。傅立叶的发现引起了数学家们的思考着如下两个问题：一、函数是什么？函数的连续、可微、可积的意义是什么？二、既然不连续函数和连续函数都可用三角级数表示，那么，不连续函数有哪些值得研究的问题？这样，最终提出了用什么方法来研究在定义域上有无穷多个间断点的函数的性质。后来，数学家们发现研究不连续函数要比研究连续函数更加困难。从19世纪30年代起的2、30年中，很多有才能的数学家都在这个问题上毫无进展。这样，间断点难题在数学分析中引起了人们的注意。是什么原因造成了数学上的间断点呢？数学家们认为其主要原因在于数学分析的基础上。众所周知，数学分析的基本内容是微积分，它是从研究连续运动状态开始的。如，运动物体的瞬时速度，曲线上一点的切线。这样，19世纪微积分的基本概念、语言、方法等都具有一种动态性，把运动仅理解为一个连续的过程。但是，从本质上说，运动是连续和间断的辩证统一。也就是说，在无穷多个间断点的不连续函数，同样是从另一方面反映了运动。因此，同样是动态方法，用描述连续性的显然是不适用描述间断性的。问题是很明显的摆在了我们面前，必须改变微积分早期动态分析方法，而要采取现在的静态方法，也可以说是用算术方法来研究一般函数的性质。
于是，数学家提出微积分的基础需要进一步改造了。如何进行改造？数学家们提出只有从运用自然数的开始，即算术的基础-——集合概念了。
19世纪很多数学家都对此进行了研究，其中卓有成效地是波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等。20世纪以来的数学研究说明了，不仅微积分的基础——实数理论可以由集合论来奠定，而且各种复杂数学理论也都可以归入集合论之内。因此，可以说全部数学的基础就是集合理论了。集合论的提出不仅促进了各个数学分支的发展，同时现代数学几乎所有分支也都会用到集合这个理论了。
正当集合论的成功给曾在困境中徬徨的数学带来鼓舞和喜悦时，正如法国著名数学家庞加莱提出：“现在，我们已经可以宣称数学的完全严格性达到了”。然而，事情的发展出
乎于人们的意斜之外，1903年罗素在集合论中发现了一个“悖论”：“一切不包含自身的集
合所形成的集合是否包含自身”。如果认为它包含自身的，即属于这个集合，那么它就不包含 自身。如果认为它不包含自身，那么它理应是这个集合中的元素，即包含自身。罗素悖论对集合论的打击太大了，因为，根据集合论的基本原则，任何一个性质或一个条件都是
可以决定一个集合，或者说集合论允许把任意满足一定性质的对象收罗在一起，而组成一个集合。根据集合的组成原则，罗素悖论中的集合是允许的，但是，在罗素集合中却出现
了数学中最不允许出现的逻辑矛盾。这自然使人们想到集合论严格性问题了。集合论严格性问题也就是数学的严格性。由于数学是一门自然科学，数学严格性问题也就是科学的严
2
格性问题，即从自然科学出发能否正确研究科学的问题。总之，数学史上第三次危机即科学观的危机。
数学史上的第四次数学危机是由计算机证明四色猜想引起的。恩格斯曾明确提出计算机证明危机也正是预言了美国数学家错误证明了四色猜想所产生的危机。恩格斯在《<.反杜林论>准备材料》中说过：“从事计算的悟性——计算机！——数学演算同纯逻辑演算的滑稽的混合。数学演算适合于物质的证明，适合于检验，因为它们是建立在物质直观（尽管是抽象的）基础上的；而纯逻辑演算只适合于推理证明，因此没有数学演算所具有的实证的可靠性——而且其中许多还是错误的！”恩格斯提出计算机证明的危机是从人类与计算机的区别谈起的。关于人类与计算机的本质区别，恩格斯在《自然辨证法》中也说过：“如果说动物不断地影响它周围的环境，那末，这是无意识地发生的，而且对于动物本身来说是偶然的事情。但是人离开动物愈远，他们对自然界的作用就愈带有经过思考的、有计划的、向着一定的和事先知道的目标前进的特征。”恩格斯在这里告诉我们，自然界与人类的本质区别在于人类有思维，而自然界是没有思维的。由于计算机是物而不是人，因此，计算机是不会思维的。由于计算机不会思维，用计算机证明数学猜想的错误是不可避免的。美国数学家在计算机上错误证明四色猜想就是恩格斯所预言的例子。
什么叫四色猜想？就是指对于平面或球面的任何地图，要求一个国家或地区用一个颜色，相邻的国家或地区不用同一种颜色着色，一幅地图最多只要四种颜色就够了。
四色猜想是1840年，数学家莫别乌斯在一篇论文中提出来的，并把这个猜想归纳为拓朴学上的四色定理。1852年，英国人喀斯里（F.Guthrie）写信给德

……(全显)

世 界 学 术 危 机
——从四色猜想证明谈起
数学的发展大致可划分为四个时期，从公元前6世纪到17世纪为初等数学时期，从17世纪初到19世纪初为变量数学时期，从19世纪初到现代为现代数学时期。自从计算机出现以后，一门以离散数学为名称的学科被提了出来。数学的发展虽然经过了四个时期，但每一个时期都产生了数学证明危机。
数学第一次危机发生在西方古希腊时期。古希腊学者早在公元前5世纪就对数学进行
了研究，其中最著名的是毕达哥拉斯学派。这个学派从“万物皆数”的观点出发，他们提出的数是指整数与整数之比。也就是说，这个学派提出了数可以写成分数的形式。但是，这个学派中一个名叫依帕索的成员在研究单位正方形对角线的数量表示时发现了这条对角线怎么也不能用他们提出的数学定义来表示。这样，根号2的出现招引了一个以研究数的性质为目的的学派产生。这个学派对根号2进行了深入研究，想法弄清它究竟能否用整数和它的比来表示，结果导致了根号2与1的不可公度的证明。
假设正方形的对角线与边长之比可以写成既约的两个整数之比p比q于是，据毕达哥拉斯定理存在：P=2q.
∵2q是偶数，即q是偶数，
∴P应是偶数｛P不可能是奇数，因为任一奇数2n+1的平方（2n+1）=4(n+n)+1必定是奇数｝。
又∵ P比q是既约的，
∴q必定是奇数。
P既然是偶数，
可设P=2a
就有P=4a=2q
得 q=2a.
从以上证明中我们可知，q是偶数，q也必定是偶数。但q同时又是奇数，这就产生了矛盾，因此，根号2不可能用整数之比来表示。毕达哥拉斯学派之所以在根号2出现时产生了矛盾，是数学界产生的第一次危机。数学产生的第一次危机是数学证明仅仅证明了根号2的存在，并不理解根号2的产生是由于数学研究对象由数向形的扩大，是数学发展的结果。因此，数学第一次数学危机上提出了数学证明不能定性的危机
数学第二次证明危机产生于微积分的基础，即极限的认识上，显示了数学在推理上的矛盾。在微积分创始时期，无论是牛顿，还是莱布尼兹对微积分的基础，即极限都是含混
不清的。英国牛顿从运动学观点提出了“流数术”，而德国莱布尼兹是从几何学角度提出了“一种求极大极小和切线的新方法，以及这种新方法的奇妙类型的计算”。两者的提出都是
模糊不清的。例如，牛顿提出的“刹那”或无穷小量，有时为零，有时不为零而是有限小
量。莱布尼兹提出的dx，dy也是含糊不清的，dx表示两个相邻的x间的差是什么意思，极限是什么》无穷小量是什么等都是十分模糊。
柯西虽然可以说是微积分的奠基者，但是，他并没有使微积分建立在严密的基础上。
在两件事上使柯西产生了推理矛盾。其一是如何确定无理数的定义？柯西提出无理数是“以有理数为项的无究序列的极限”。这个定义实际上是犯了循环论的错误。因为，这个定义并
没有说清楚极限。若将极限看成有理数，这就等于说无理数是有理数。若将极限看成是无理数，由于还没有定义，在逻辑上是不存在的。其二是对连续可导的认识上。柯西认为，
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连续曲线各点的切线是应当存在的，也可以说连续函数必可导。但是，1872年魏斯找到了一个虽连续但处处不可导的函数。
∞
F(x)=∑ b″cos(a″nx)
n=0
是什么原因使柯西产生了逻辑推理上的矛盾呢？直到19世纪后期，数学家认为原因在于微积分基础的极限概念上。从理论上说，柯西的极限概念也未真正地摆脱几何直观，真正地建立在纯粹而严整的算术基础上。这样，在柯西看来极限常常表现了一种不确定性。这才使数学在数学在逻辑推理上产生了第二次危机。
数学的第三次证明危机产生于集合的提出和发展上。直接促使集合论产生的一个关键，就是函数的三角级数表示问题。1882年傅立叶在《热的解析理论》中提出函数可以用三角
级数表示。傅立叶提出：“任何函数，包括不连续函数和没有解析式而只能图示的函数，都可以用三角级数来表示”。傅立叶的发现引起了数学家们的思考着如下两个问题：一、函数是什么？函数的连续、可微、可积的意义是什么？二、既然不连续函数和连续函数都可用三角级数表示，那么，不连续函数有哪些值得研究的问题？这样，最终提出了用什么方法来研究在定义域上有无穷多个间断点的函数的性质。后来，数学家们发现研究不连续函数要比研究连续函数更加困难。从19世纪30年代起的2、30年中，很多有才能的数学家都在这个问题上毫无进展。这样，间断点难题在数学分析中引起了人们的注意。是什么原因造成了数学上的间断点呢？数学家们认为其主要原因在于数学分析的基础上。众所周知，数学分析的基本内容是微积分，它是从研究连续运动状态开始的。如，运动物体的瞬时速度，曲线上一点的切线。这样，19世纪微积分的基本概念、语言、方法等都具有一种动态性，把运动仅理解为一个连续的过程。但是，从本质上说，运动是连续和间断的辩证统一。也就是说，在无穷多个间断点的不连续函数，同样是从另一方面反映了运动。因此，同样是动态方法，用描述连续性的显然是不适用描述间断性的。问题是很明显的摆在了我们面前，必须改变微积分早期动态分析方法，而要采取现在的静态方法，也可以说是用算术方法来研究一般函数的性质。
于是，数学家提出微积分的基础需要进一步改造了。如何进行改造？数学家们提出只有从运用自然数的开始，即算术的基础-——集合概念了。
19世纪很多数学家都对此进行了研究，其中卓有成效地是波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等。20世纪以来的数学研究说明了，不仅微积分的基础——实数理论可以由集合论来奠定，而且各种复杂数学理论也都可以归入集合论之内。因此，可以说全部数学的基础就是集合理论了。集合论的提出不仅促进了各个数学分支的发展，同时现代数学几乎所有分支也都会用到集合这个理论了。
正当集合论的成功给曾在困境中徬徨的数学带来鼓舞和喜悦时，正如法国著名数学家庞加莱提出：“现在，我们已经可以宣称数学的完全严格性达到了”。然而，事情的发展出
乎于人们的意斜之外，1903年罗素在集合论中发现了一个“悖论”：“一切不包含自身的集
合所形成的集合是否包含自身”。如果认为它包含自身的，即属于这个集合，那么它就不包含 自身。如果认为它不包含自身，那么它理应是这个集合中的元素，即包含自身。罗素悖论对集合论的打击太大了，因为，根据集合论的基本原则，任何一个性质或一个条件都是
可以决定一个集合，或者说集合论允许把任意满足一定性质的对象收罗在一起，而组成一个集合。根据集合的组成原则，罗素悖论中的集合是允许的，但是，在罗素集合中却出现
了数学中最不允许出现的逻辑矛盾。这自然使人们想到集合论严格性问题了。集合论严格性问题也就是数学的严格性。由于数学是一门自然科学，数学严格性问题也就是科学的严
2
格性问题，即从自然科学出发能否正确研究科学的问题。总之，数学史上第三次危机即科学观的危机。
数学史上的第四次数学危机是由计算机证明四色猜想引起的。恩格斯曾明确提出计算机证明危机也正是预言了美国数学家错误证明了四色猜想所产生的危机。恩格斯在《<.反杜林论>准备材料》中说过：“从事计算的悟性——计算机！——数学演算同纯逻辑演算的滑稽的混合。数学演算适合于物质的证明，适合于检验，因为它们是建立在物质直观（尽管是抽象的）基础上的；而纯逻辑演算只适合于推理证明，因此没有数学演算所具有的实证的可靠性——而且其中许多还是错误的！”恩格斯提出计算机证明的危机是从人类与计算机的区别谈起的。关于人类与计算机的本质区别，恩格斯在《自然辨证法》中也说过：“如果说动物不断地影响它周围的环境，那末，这是无意识地发生的，而且对于动物本身来说是偶然的事情。但是人离开动物愈远，他们对自然界的作用就愈带有经过思考的、有计划的、向着一定的和事先知道的目标前进的特征。”恩格斯在这里告诉我们，自然界与人类的本质区别在于人类有思维，而自然界是没有思维的。由于计算机是物而不是人，因此，计算机是不会思维的。由于计算机不会思维，用计算机证明数学猜想的错误是不可避免的。美国数学家在计算机上错误证明四色猜想就是恩格斯所预言的例子。
什么叫四色猜想？就是指对于平面或球面的任何地图，要求一个国家或地区用一个颜色，相邻的国家或地区不用同一种颜色着色，一幅地图最多只要四种颜色就够了。
四色猜想是1840年，数学家莫别乌斯在一篇论文中提出来的，并把这个猜想归纳为拓朴学上的四色定理。1852年，英国人喀斯里（F.Guthrie）写信给德

……(全显)