《震离坎兑》苏领大公主

24、五次根号161051十万1~248832十万 5次√16

　　苏五震、苏六坎、苏七离、苏八兑四人围坐在书房里，窗外秋意渐浓，桌上摊着一本泛黄的《数经》，书页上赫然写着一串令人望而生畏的数字：16105100001 到 24883200000。

　　“这范围也太大了吧？”苏八兑皱着眉头，手指轻轻敲着桌面，“五次根号？那不是要找一个数，让它自乘五次后落在这个区间里？”

　　苏七离推了推眼镜，冷静地说：“没错。我们要求的是所有整数 x ，使得 x^5 in [16105100001, 24883200000] 。换句话说，就是求这个，区间的五次方根的整数部分。”

　　苏六坎拿起笔，在纸上飞快地写了起来：“先估算一下边界。我们知道 100^5 = 10^{10} = 10000000000 ，而 200^5 = 32 times 10^{10} = 32000000000 ，显然太大了。所以目标应该，在100到200之间。”

　　“更精确一点，”，苏五震插话道，“我们试试110。 110^5 = (11 times 10)^5 = 11^5 times 10^5 。先算 11^2 = 121 ， 11^3 = 1331 ， 11^4 = 14641 ， 11^5 = 161051 。”

　　四人同时，倒吸一口冷气。

　　“等等！”，苏八兑，惊呼，“16105100000？题目，给的下限是 ，16105100001，就比它大1！”

　　“也就是说，”，苏七离缓缓道，“ 110^5 = 16105100000 < 16105100001 ，所以110的，五次方刚好，比下限小1，不满足条件。那么最小，的整数 x 应该是111。”

　　苏六坎立刻计算：“ 111^5 是多少？我们可以，用二项式展开：
　　111 = 110 + 1 ，所以
　　(110 + 1)^5 = 110^5 + 5 cdot 110^4 cdot 1 + 10 cdot 110^3 cdot 1^2 + 10 cdot 110^2 cdot 1^3 + 5 cdot 110 cdot 1^4 + 1^5 。”

　　他一边算，一边写：“
　　110^5 = 16105100000
　　110^4 = 146410000 ，所以 5 cdot 110^4 =

　　“正好等于上限！”，苏七离，眼睛一亮，“所以 120^5 = 24883200000 ，包含在区间内。”

　　“那121呢？”苏六坎问。

　　“ 121^5 = (11^2)^5 = 11^{10} 。我们之前，知道 11^5 = 161051 ，所以 11^{10} = (11^5)^2 = 161051^2 。”

　　苏五震快速心算：“161051² ≈ (1.61×10⁵)² ≈ 2.59×10¹⁰ = 25900000000，明显，大于24883200000。”