《震离坎兑》苏领大公主

22、五次根号1百亿1~161051十万 5次√1百

　　苏家兄妹四人围坐在老宅的天井里，石桌上摊着一叠写满算式的宣纸。苏五震捏着毛笔，在纸上写下“10000000001”和“16105100000”，指尖沾了墨点也浑然不觉。

　　苏五震瞪他一眼：“我是震，又不是震手震脚。第一个数是10000000001，也就是10的10次方加1；第二个数是16105100000，我算过，它等于11的10次方。”

　　“11的平方是121，立方是1331，四次方是14641，五次方是161051。”苏五震用笔杆点着数字，“11的五次方是161051，那十次方就是161051的平方，算出来正好是16105100000，不对，等一下，161051乘161051。”他忽然顿住，眉头皱起来，“我算错了，161051的平方应该是25937424601。”

　　苏六坎：“没错。第一个数，10¹⁰+1，它的五次方根是多少？我们知道10¹⁰的五次方根是10²=100，因为(10²)⁵=10¹⁰。那10¹⁰+1比10¹⁰大一点点，它的五次方根应该比100大一点点，大概是100.00000002之类的，具体得用泰勒展开算。”

　　苏七离掏出手机打开计算器：“我用计算器算一下……10000000001的五次方根，约等于100.000000002。确实只比100大了一点点，几乎可以忽略不计。”

　　苏五震恍然大悟：“原来如此！所以这两个数的五次方根，一个是约100，一个是正好110。那它们之间的数呢？比如10000000001到16105100000之间的所有整数，它们的五次方根都在100到110之间。”

　　苏六坎拿起笔，在纸上画了一条数轴：“对。五次方根函数是单调递增的，所以x越大，⁵√x也越大。当x从10¹⁰+1增加到11⁵×10⁵时，⁵√x从约100增加到110。这中间的整数x，它们的五次方根都是100点几到110之间的数。”

　　苏七离忽然想到什么：“那有没有整数的五次方正好落在这个区间里？比如101的五次方是多少？”

　　苏八兑已经算出来了：“101⁵=(100+1)⁵，用二项式展开：100⁵+5×100⁴×1+10×100³×1²+10×100²×1³+5×100×1⁴+1⁵=10000000000+500000000+10000000+100000+500+1=10510100501。这个数在10000000001和16105100000之间，所以⁵√10510100501=101，是整数。”