《震离坎兑》苏领大公主

103、四次根号260^4+1~270^4 4次√26

　　晚饭后，苏家四兄妹围坐在书桌旁。苏五震把一叠草稿纸拍在桌上，眼睛亮得像刚解出一道压轴题。

　　“我有个问题，”他说，“四次根号下，从260的四次方加1，一直到270的四次方——这些数的整数部分，分别是多少？”

　　苏六坎推了推眼镜，拿起笔：“先搞清楚范围。四次根号下的被开方数必须非负，这里全是正数，没问题。关键是估算。”

　　苏七离凑过来：“260的四次方加1，开四次根，肯定比260大一点点吧？”

　　“对，但大多少？”苏五震追问，“会不会超过261？”

　　苏八兑拿起计算器敲了几下：“261的四次方减260的四次方，等于多少？用公式展开——(n+1)⁴ - n⁴ = 4n³ + 6n² + 4n + 1。代入n=260，4乘260的立方，光这一项就已经是七千万级别了。”

　　“也就是说，”苏六坎接过话头，“260⁴和261⁴之间，隔了整整七千多万的跨度。而260⁴+1只比260⁴大了1，连零头都算不上。所以四次根号下260⁴+1，整数部分铁定是260。”

　　苏七离拍手：“那后面几个呢？260⁴+2、+3……一直到260⁴加上270⁴减260⁴？”

　　“不管加多少，”苏八兑说，“只要加的那个数小于261⁴ - 260⁴，开四次根的结果就还在260和261之间，整数部分就是260。同理，261⁴到262⁴之间的所有数，开四次根的整数部分都是261。”

　　苏五震恍然大悟：“所以从260⁴+1到270⁴，这整段区间可以切成十一段——260到261之间、261到262之间……一直到269到270之间。每一段里的所有数，开四次根的整数部分都等于左端点那个整数！”

　　“没错。”苏六坎在纸上画了一条数轴，“260⁴+1到261⁴-1，整数是260；261⁴到262⁴-1，整数部分是261。”

　　苏七离忽然想到什么：“那270⁴本身呢？四次根号下270⁴，正好等于270，整数部分就是270。”

　　“但题目是到270⁴为止，”苏八兑说，“所以最后一个数单独是270，前面从260⁴+1到270⁴-1，整数部分从260一路跳到269。”

　　苏五震感慨：“这题妙就妙在，你不需要真的去算那些天文数字。只要知道相邻两个整数的四次方差有多大，就能用‘夹逼’的思路锁定整数部分。平方数、立方数我们玩过很多次，四次方不过是再套一层而已。”

　　苏六坎笑着补充：“而且这个规律对任意次方根都成立。n次根号下，只要被开方数落在kⁿ到(k+1)ⁿ之间，整数部分就是k。本质上是幂函数的单调性在起作用。”