《数焰》星越蔓蔓

21、第二十一章 贝叶斯更新 贝叶斯

　　贝叶斯更新没有终点，就像思念没有终点。

　　陆明远发现，自己每天都在做同一件事：更新。
　　更新对过去的理解，更新对她的认识，更新对自己错误的认知。每一天，都有新的发现；每一个发现，都让他重新审视那些以为已经懂了的东西。
　　他想起贝叶斯更新。
　　贝叶斯更新是统计学里的一种方法，用新的信息来更新对某个事件的信念。先验信念 + 新数据 = 后验信念。然后后验信念成为新的先验，再迎接下一个数据，不断迭代。
　　三十三年，一万两千多天，每一天都是一个新数据点。他用这些数据，不断更新对她的理解。
　　但有一个问题：她走了。没有新的数据了。他的更新，只能基于过去。
　　他需要把过去的数据，重新过一遍。用贝叶斯的眼睛。
　　他先从最简单的信念开始：她爱他吗？
　　先验：他假设有50%的概率她爱他。因为爱不爱这种事，没法预设。
　　第一个数据点：1989年，他们认识。她笑了，说“你好，我是林墨”。那个笑，是真的。他更新信念。
　　后验概率 = (先验概率×似然) / 证据
　　似然：如果她爱他，看到这个笑的概率是90%；如果不爱，看到这个笑的概率是10%。
　　证据 = 0.5×0.9 + 0.5×0.1 = 0.5
　　后验 = (0.5×0.9)/0.5 = 0.9
　　90%。她爱他的概率，从50%升到90%。
　　第二个数据点：1990年，结婚。她说“以后我就是你老婆了”。如果她爱他，说这句话的概率95%；如果不爱，概率5%。
　　证据 = 0.9×0.95 + 0.1×0.05 = 0.855 + 0.005 = 0.86
　　后验 = (0.9×0.95)/0.86 = 0.855/0.86 = 0.994
　　99.4%。几乎确定了。
　　第三个数据点：1994年，吵架最多的一年。她日记里写“他走了，我一个人哭”。如果她爱他，写这句话的概率80%（因为爱才会因为吵架难过）；如果不爱，概率20%（因为不爱也会难过，但程度不同）。
　　证据 = 0.994×0.8 + 0.006×0.2 = 0.7952 + 0.0012 = 0.7964
　　后验 = (0.994×0.8)/0.7964 = 0.7952/0.7964 = 0.9985
　　99.85%。还在上升。
　　他继续更新。
　　1998年，她日记里写“有时候觉得，一个人也挺好”。这句话让他不安。如果她爱他，说这句话的概率？爱他的人，也会偶尔觉得一个人挺好，但概率不高。他设20%。如果不爱，概率80%。
　　证据 = 0.9985×0.2 + 0.0015×0.8 = 0.1997 + 0.0012 = 0.2009
　　后验 = (0.9985×0.2)/0.2009 = 0.1997/0.2009 = 0.994
　　降到99.4%。还是很高，但降了一点。
　　2003年，非典，他在家。她日记里写“真好”。如果她爱他，写这句话的概率95%；如果不爱，5%。
　　证据 = 0.994×0.95 + 0.006×0.05 = 0.9443 + 0.0003 = 0.9446
　　后验 = (0.994×0.95)/0.9446 = 0.9443/0.9446 = 0.9997
　　升到99.97%。
　　2008年，父亲去世。她日记里写“我一个人回去，一个人办丧事，一个人回来”。如果她爱他，写这句话的概率？爱他的人，会希望他在，所以写这句话时带着失望，概率70%。如果不爱，可能无所谓，概率30%。
　　证据 = 0.9997×0.7 + 0.0003×0.3 = 0.6998 + 0.00009 = 0.69989
　　后验 = (0.9997×0.7)/0.69989 = 0.6998/0.69989 = 0.99987
　　还是99.99%。
　　2014年，三亚之旅。她日记里写“三亚真好。但更好的，是和他一起”。如果她爱他，写这句话的概率98%；如果不爱，2%。
　　证据 = 0.99987×0.98 + 0.00013×0.02 = 0.97987 + 0.0000026 = 0.9798726
　　后验 = (0.99987×0.98)/0.97987 = 0.97987/0.97987 = 0.9999999
　　基本上100%了。
　　2019年，复发，没告诉他。她日记里写“他不知道”。如果她爱他，写这句话的概率？爱他所以不告诉他怕他担心，概率90%。如果不爱，可能也无所谓，概率10%。
　　证据 = 0.9999999×0.9 + 0.0000001×0.1 = 0.8999999 + 0.00000001 = 0.89999991
　　后验 = (0.9999999×0.9)/0.9 = 0.9/0.9 = 1
　　100%。
　　2020年，确诊，他在。她日记里写“他在，我就不怕”。如果她爱他，写这句话的概率99.9%；如果不爱，0.1%。
　　后验还是100%。
　　2021年，最后一年。她日记里写“谢谢你”。如果她爱他，写这句话的概率99.99%；如果不爱，0.01%。
　　后验还是100%。
　　三十三个数据点更新下来，她爱他的概率，从50%升到100%。
　　但这是用他设定的似然算的。似然是他主观判断的。换了别人，可能有不同的似然。
　　他需要更客观的似然。
　　他从她的日记里，提取那些直接表达情感的句子，统计频率。
　　“他”出现的次数：372次。总日记篇数：528篇。平均每篇0.7次。
　　“想他”出现的次数：87次。平均每篇0.16次。
　　“等他”出现的次数：56次。平均每篇0.11次。
　　“爱他”出现的次数：只有3次。中国人不常写这个字。但3次，也在那里。
　　这些频率，可以作为似然的依据。
　　如果她爱他，这些词出现的概率应该高。如果不爱，应该低。
　　他用这些频率重新做贝叶斯更新。
　　先验还是50%。
　　第一个数据点：1989年，日记里出现“他”的次数？那年她刚开始写日记，提到他很多。他算了一个综合似然。
　　结果和之前差不多。最后概率还是趋近100%。
　　但他知道，这个100%是数学上的。实际上，没有什么是100%确定的。
　　贝叶斯更新的魅力就在这里：它可以无限接近1，但永远到不了1。因为总有不完全的信息，总有没观测到的数据，总有未知的可能性。
　　她可能有不爱他的时刻。1998年，她说“一个人也挺好”的时候，可能真的想过离开。2008年，他不在的时候，可能真的恨过他。2019年，她一个人扛着的时候，可能真的后悔过。
　　但那些时刻，都被爱覆盖了。爱不是一条直线，是起伏的曲线。有高峰，有低谷，但平均值很高。
　　贝叶斯更新捕捉的，就是这个平均值。
　　他换了一个问题：她幸福吗？
　　先验：50%。
　　数据点1：1990年，日记里写“开心”的次数。那年写了23次“开心”。如果她幸福，写“开心”的概率高；如果不幸福，概率低。
　　后验：78%。
　　数据点2：1994年，写“难过”的次数。那年写了12次“难过”。如果她幸福，写“难过”的概率低；如果不幸福，概率高。
　　后验：65%。
　　数据点3：2003年，写“真好”的次数。那年写了8次“真好”。后验：82%。
　　数据点4：2008年，写“哭”的次数。那年写了7次“哭”。后验：51%。
　　数据点5：2014年，写“开心”的次数。那年写了15次“开心”。后验：79%。
　　数据点6：2019年，写“难受”的次数。那年写了9次“难受”。后验：43%。
　　数据点7：2020年，写“不怕”的次数。那年写了5次“不怕”。后验：58%。
　　数据点8：2021年，写“谢谢”的次数。那年写了4次“谢谢”。后验：67%。
　　三十三个数据点更新下来，她幸福的概率是67%。
　　和他之前用频率学派算的一样。
　　贝叶斯更新可以一步一步看，也可以一次性看全部。
　　他做了一次性更新：用所有三十三个年份的数据，同时更新。
　　先验：50%。
　　数据：三十三个年份的情感指数（从日记里读出来的1-10分）。
　　他假设情感指数服从正态分布。如果她幸福，均值7分，标准差2；如果不幸福，均值3分，标准差2。
　　然后计算似然：每个年份的情感指数，在两种假设下的概率密度，相乘。
　　结果：
　　似然比 = 7.8×10^12
　　后验概率 = 1 / (1 + (0.5/0.5) / 7.8e12) = 1 / (1 + 1/7.8e12) ≈ 1
　　还是100%。
　　但如果用更严格的标准：幸福和不幸福的分布有重叠，有些年份（比如5分）既可能是幸福也可能是不幸福。这样算出来的后验概率，是99.7%。
　　99.7%，不是100%。有0.3%的概率，她是不幸福的。
　　那0.3%，是哪些年份？是1998、2008、2019这些低谷。是那些她一个人在日记里写“累”“难过”“一个人”的年份。
　　陆明远看着这个0.3%，久久说不出话。
　　0.3%，三千分之一。三十三年里，有大约0.1年，也就是一个月左右，她可能是不幸福的。
　　那一个月，是哪些天？他不知道。但她知道。她写在日记里了，只是他没看见。
　　现在他看见了。
　　那些天，是1998年的某几天，她写“一个人也挺好”的时候。是2008年的某几天，她写“我一个人回去”的时候。是2019年的某几天，她写“他不知道”的时候。
　　那些天，他不幸福。她也不幸福。
　　他继续做贝叶斯更新，用一个新的问题：他爱她吗？
　　先验：他以为自己爱她，概率100%。但现在他怀疑了。他真的爱她吗？如果爱，为什么让她等那么久？如果爱，为什么在她最需要的时候不在？如果爱，为什么那些年没有好好陪她？
　　他设先验为50%。因为他需要诚实。
　　数据点1：1990年，他每天给她打电话。如果爱她，打这么多电话的概率90%；如果不爱，10%。
　　后验：90%。
　　数据点2：1994年，吵架后他摔门出去。如果爱她，摔门出去的概率30%（因为爱也会吵架，但不会轻易走）；如果不爱，70%。
　　后验： (0.9×0.3) / (0.9×0.3 + 0.1×0.7) = 0.27 / (0.27+0.07) = 0.27/0.34 = 0.794
　　降到79.4%。
　　数据点3：2003年，非典期间天天在家陪她。如果爱她，陪她的概率95%；如果不爱，5%。
　　后验： (0.794×0.95) / (0.794×0.95 + 0.206×0.05) = 0.7543 / (0.7543+0.0103) = 0.7543/0.7646 = 0.9865
　　升到98.7%。
　　数据点4：2008年，她父亲去世，他出差没陪她。如果爱她，做出这个行为的概率？很难说。他当时觉得工作需要，但现在看来，是逃避。设概率20%。
　　后验： (0.987×0.2) / (0.987×0.2 + 0.013×0.8) = 0.1974 / (0.1974+0.0104) = 0.1974/0.2078 = 0.95
　　降到95%。
　　数据点5：2014年，带她去三亚。如果爱她，做这件事的概率90%；如果不爱，10%。
　　后验： (0.95×0.9) / (0.95×0.9 + 0.05×0.1) = 0.855 / (0.855+0.005) = 0.855/0.86 = 0.994
　　升到99.4%。
　　数据点6：2019年，他出差118天，历史最高。如果爱她，出这么多差的概率？他不知道。设30%。
　　后验： (0.994×0.3) / (0.994×0.3 + 0.006×0.7) = 0.2982 / (0.2982+0.0042) = 0.2982/0.3024 = 0.986
　　降到98.6%。
　　数据点7：2020-2021年，他一直在陪她。如果爱她，陪她的概率99%；如果不爱，1%。
　　后验： (0.986×0.99) / (0.986×0.99 + 0.014×0.01) = 0.97614 / (0.97614+0.00014) = 0.97614/0.97628 = 0.99986
　　99.99%。
　　三十三个数据点更新下来，他爱她的概率，从50%升到99.99%。
　　但那0.01%的不确定性，永远在那里。那是1994年的摔门而去，是2008年的缺席，是2019年的118天。那些行为，是他爱的不完美证据。
　　他想起一个概念：先验的敏感性。
　　贝叶斯更新的结果，依赖于先验的选择。如果他一开始就相信自己是爱她的，先验设90%，那最后就是99.999%。如果他一开始就怀疑自己，先验设10%，那最后可能是80%多。
　　不同的先验，导致不同的后验。
　　他选哪个先验？
　　他选50%。因为他不想欺骗自己。他要诚实地面对那些年，那些行为，那些伤害。
　　50%的先验，99.99%的后验。这个结果告诉他：即使诚实地面对自己的错误，他仍然是爱她的。那些错误，是爱的瑕疵，不是爱的反面。
　　他继续做贝叶斯更新，用最后一个问题：他们还会重逢吗？
　　先验：0%。因为他理智上知道，人死了就是死了，不会重逢。
　　但贝叶斯更新可以处理主观信念。他设一个很小的先验：0.1%。万一呢？万一有灵魂，万一有来生，万一有重逢。
　　数据点1：她走的那天，下午三点四十七分，他握着她的手。她的手慢慢变凉。这个数据，不支持重逢。如果会重逢，这个场景的概率？他设50%。如果不会重逢，这个场景的概率100%（因为必然发生）。
　　似然比 = 0.5/1 = 0.5
　　后验 = (0.001×0.5) / (0.001×0.5 + 0.999×1) = 0.0005 / (0.0005+0.999) = 0.0005/0.9995 = 0.0005
　　0.05%，比先验还低。
　　数据点2：她走后，他梦见她。梦里的她，穿着白衬衫，扎着马尾，和活着时一模一样。如果会重逢，做这种梦的概率？也许80%。如果不会重逢，做这种梦的概率？也很高，日有所思夜有所梦，80%。
　　似然比 = 0.8/0.8 = 1
　　后验不变，还是0.05%。
　　数据点3：他看她的数据，发现那些完美的正态分布，那些精心安排的异常值，那些只有他能懂的密码。如果会重逢，她会这样安排吗？也许90%。如果不会重逢，她也会这样安排，因为这是她留给他的信。概率90%。
　　似然比 = 0.9/0.9 = 1
　　后验还是0.05%。
　　数据点4：他写完二十二封信，感觉她一直在听。如果会重逢，这种感觉的概率？也许70%。如果不会重逢，这种感觉的概率？也很高，因为思念会产生幻觉，70%。
　　似然比 = 0.7/0.7 = 1
　　后验不变。
　　没有数据能提高这个概率。因为所有数据，在两种假设下的似然都差不多。
　　他需要奇迹。但奇迹，不会发生在贝叶斯更新里。
　　他放弃了。0.05%就0.05%。两千分之一。够低了，低到可以忽略。
　　但他发现，他无法忽略。那个0.05%，一直在那里。像一个微弱的光，在黑暗中闪烁。
　　他知道那是非理性的。但他无法消灭它。因为那是希望。
　　贝叶斯更新可以处理理性信念，但处理不了希望。希望是先验，不是后验。希望是在没有任何数据支持的情况下，仍然相信。
　　他仍然相信。0.05%的相信。
　　那天晚上，陆明远做了一个梦。
　　梦里他站在一个巨大的贝叶斯公式前。先验、似然、证据、后验，一个个符号在跳动。他输入数据，输出结果。一次又一次，后验越来越精确。
　　她站在他旁边，看着那些数字。
　　她说：“你还在算？”
　　他说：“嗯。”
　　她说：“算到什么时候？”
　　他说：“算到算不动为止。”
　　她笑了，说：“那你永远算不完。”
　　他问：“为什么？”
　　她说：“因为总有新的数据。每一天，每一刻，每一次想起我，都是新数据。你的后验，会一直更新。”
　　他愣住了。
　　她说：“贝叶斯更新没有终点，就像思念没有终点。”
　　她伸出手，摸了摸他的脸。
　　“你愿意一直更新吗？”
　　他说：“愿意。”
　　她说：“那就好。”
　　她消失了。贝叶斯公式还在，数字还在跳动。
　　陆明远醒了。
　　凌晨四点，窗外还是黑的。他躺在床上，想着那个梦。
　　贝叶斯更新没有终点。就像思念没有终点。
　　他还会继续更新。用每一天的新数据，更新对她的理解，更新对自己的认识，更新对爱的信念。
　　那些新数据是什么？是每天想起她的次数，是每次梦到她的画面，是每一封信写完后的感受。是继续生活，继续等待，继续相信。
　　后验变成先验，再迎接新数据。无限迭代。
　　直到某一天，他不再有新的数据。那一天，就是他和她重逢的日子。
　　“林墨：
　　我做了贝叶斯更新。
　　先验：50%你爱我。后验：100%。
　　先验：50%你幸福。后验：67%。
　　先验：50%我爱你。后验：99.99%。
　　先验：0.1%我们会重逢。后验：0.05%。
　　这些数字，是我用三十三年的数据，一点一点更新出来的。
　　最后一个概率，低得可怜。0.05%，两千分之一。
　　但我无法消灭它。
　　因为那是希望。
　　贝叶斯更新可以处理理性，但处理不了希望。希望是先验，不是后验。希望是在没有任何数据支持的情况下，仍然相信。
　　我仍然相信。
　　0.05%的相信，也是相信。
　　而且，贝叶斯更新没有终点。每一天，每一次想起你，都是新数据。我的后验，会一直更新。
　　也许有一天，某个数据会让那个概率变大。也许是另一个梦，也许是另一个发现，也许是另一个奇迹。
　　也许不会。
　　但我会继续更新。继续相信，继续等待。
　　因为思念，就是永不停歇的贝叶斯更新。
　　谢谢你，用三十三年教会我什么是先验，什么是后验，什么是永不停歇的爱。
　　从今以后，我会每天更新。更新对你的思念，更新对自己的理解，更新对重逢的等待。
　　直到那一天。
　　那一天，我们会重逢。
　　然后，贝叶斯更新结束。因为不再需要更新了。真相就在眼前。”
　　他想，天亮之后，他要去看她。告诉她，他懂了什么是贝叶斯更新，什么是永不停歇的思念，什么是0.05%的希望。
　　她，会听的。