《余生好时辰[重生]》午垚

73、质疑老师 一

　　一个上午的讲课结束得很快。直到十一点半，任立才在众人的注视中收了尾。

　　“感谢大家的参与，今天的讲课就到这里。祝大家都能取得好成绩。”

　　可能是提前训练过，一高的学生很有秩序地按顺序离开会议厅。余生垂了垂眼，等大部分人走得差不多了，才慢吞吞地起身。

　　林知时也还没走。

　　他见余生站起来，环视了一圈。会议厅里只剩下几个围在任立身边的学生，以及零星几位老师。他这才起身，径直往任立那边走去。

　　余生脚步一顿。她本来也想去请教问题的，看到林知时的动作，犹豫了一瞬，还是跟了上去。

　　纪邵几人见状，也跟在她后面。

　　等前面几位同学问完，林知时才开口。

　　“任老师，关于您刚才讲的那道函数迭代构造题，我有个疑问。”

　　任立转过头，笑着点了点头：“你说。”

　　“您用特征根法最后解的这道题，给出的是两个解。但我验算的时候发现，第二个解好像有问题。”

　　任立笑容还挂在脸上，表情里没有多少当真。

　　“你具体说说。”

　　林知时走上前，从任立手里借过笔，在黑板上写了两行。他的字迹干净利落，推导过程一目了然。

　　“代数上确实成立，”他放下笔，转身看向任立，“但迭代三次之后，情况就不太对劲了。”

　　他一边说，一边在黑板上继续写。笔尖点着推导出来的式子，逐行解释。

　　说到不动点时，他的语气依然平静，但语速不自觉地加快了一些：“……在这个不动点附近，迭代会呈现震荡行为。可如果考虑函数在不动点处的导数——”

　　任立的表情开始变得微妙起来。他微微眯起眼睛，盯着黑板上的式子看了几秒，眉头微微皱起。

　　会议厅里还没走的学生和老师都注意到了这边的动静。几个一高的老师停下收拾东西的动作，朝这边看过来。

　　齐春秋原本已经快走到门口，听到动静转过身，眉头微微皱起。

　　余生站在林知时身后，她也觉得第二个解有点问题，正是过来咨询这个的。

　　“还有一个问题。”她忽然开口。

　　所有人都看向她。

　　她走上前，从林知时手里接过笔。林知时愣了一下，但没说什么，侧身让出了位置。

　　余生在他的推导下面又添了几行。她转头看向任立：“任老师，代数上确实没有矛盾。迭代四次的结果和用原方程迭代两次再平方的结果是一致的。”

　　她停顿了一下，语气变得有些疑惑：“可是这个函数在实数集上不是全局定义良好的。”

　　林知时看了他一眼，点了点头：“对。二次迭代后是一个单调递增的函数，但f本身是单调递减的。一个单调递减的函数迭代两次，得到单调递增的函数，这在代数上没问题。可是——”

　　“可是原方程的解如果存在，应该不止这两个。”余生直接说出了他没说完的话。

　　两个人对视了一眼。

　　任立站在一旁，沉默了大约五秒钟。

　　这五秒钟里，会议厅里安静得能听到空调运转的嗡嗡声。

　　几个一高的老师面面相觑，齐春秋的眉头皱得更紧了，脚步往前迈了半步，又停住了。

　　因为任立突然笑了。

　　笑容里是真心实意的赞赏，没有半分被冒犯的愤怒。

　　“你们两个，”他摇了摇头，语气里有一种奇怪的满足感，“把我准备下午讲的内容提前问出来了。”

　　他走到黑板前，拿起一支新粉笔，在余生和林知时写的式子旁边画了一个大大的圈，写下几个字：解的存在性与唯一性。

　　“我上午讲这道题的时候，说特征根法给出两个解，都满足条件。这个说法——”

　　他停顿了一下，看了林知时和余生各一眼。

　　“严格来说，是不完整的。”

　　会议厅里响起一阵低低的骚动。几个还没走的一高学生互相交换了眼神，脸上写满了惊讶。

　　任立不在意地继续说：“特征根法处理这类问题时，我们通常默认解是线性函数。在这个假设下，两个解都正确。但问题是——我们凭什么假设f(x)一定是线性函数？”

　　林知时眼睛微微一亮。余生也反应过来了：“您的意思是，这道题可能存在非线性解？”

　　“没错。”任立点头，“这个方程如果只限制在连续函数范围内，解的情况会复杂得多。我们通常讲的‘特征根法’是在假设f是线性的前提下推导的。但如果允许非线性，那这个方程的解可能远比两个多。”

　　他在黑板上又写了几行，简要说明了构造的思路。

　　“竞赛题通常会在题目里明确说‘求所有的线性函数’，或者默认讨论的范围就是线性函数。我上午的讲法省略了这个前提条件——”

　　他顿了顿，很坦荡地说：“这是我的问题。”

　　他转过身，看向林知时和余生，表情认真起来：“你们两个能发现这一点，说明你们听课不是只听结论，而是在想这个结论是怎么来的、适用范围是什么。这在竞赛学习里，是很难得的能力。”

　　林知时没有说话，只是微微点了一下头。余生倒是没什么特别的反应，低着头在自己笔记本上飞快地记着什么。

　　任立看了看手表，又看了看围过来的几个一高的学生，叹了口气：“本来想留到下午再讲的，被你们提前问出来了。那我干脆现在讲完。”

　　他转过身，在黑板上重新写了一遍那道题，在前面加了一个条件：且f(x)是线性函数。

　　“加上这一句，这道题就严谨了。在竞赛里，这种表述才是完整的。如果题目没有明确说线性，那你们在答卷时应该先说明假设f是线性函数，或者讨论更一般的情况。”

　　他在条件旁边打了一个星号，“考场上，如果题目没有明确，先按线性做，但心里要知道这是有前提的。”

　　齐春秋站在远处，把这一幕看在眼里。他双手抱在胸前，脸上的表情从刚才的担忧变成了一种微妙的骄傲。

　　他侧头看了一眼旁边的夏冬，发现这位一高的数学组长正面无表情地盯着黑板，看不出在想什么。

　　“齐老师，”夏冬忽然开口，语气里那点羡慕藏都藏不住，“你这个学生是真的很不错。”

　　齐春秋嘴角的笑压都压不住，嘴上却还要客气：“你们学校的学生也很好。”

　　夏冬没接话，只是又看了黑板一眼。

　　学生们陆续散去。任立收拾好讲义，临走前看了余生和林知时一眼，笑着说：“下午的讨论课，你们坐得离我近一点。有什么问题当场提，别等到讲完了再把我喊回来。”

　　余生笑了笑：“老师讲得很好，我感觉受益匪浅。”

　　任立看了她一眼，笑意更深了些，没再多说，拎着包走了。

　　林知时看了余生一眼，没说什么，走出了会议室。

　　谭述从后面冲上来，脸上的表情介于震惊和兴奋之间：“你们刚才是在给任老师纠错吗？那个一高的男生直接说老师讲错了？你也跟着上去写了？你们不怕啊？”

　　余生被她晃得站不稳，伸手按住谭述的手腕让她冷静下来：“只是在讨论问题而已。”

　　“讨论问题？”谭述瞪大眼睛，“那可是任立啊！出卷子的那个任立！你们当着那么多人的面说他的解法不完整！”

　　“所以呢？”余生歪头看她，“讲错了就是讲错了，又不是什么丢人的事。任老师自己都不在意，你激动什么。”

　　谭述张了张嘴，发现自己竟然无法反驳。

　　余生转身往齐春秋那走，步伐还是那副不紧不慢的散漫模样。纪邵合上笔记本，跟了上去。

　　“老师。”余生走到齐春秋边上，乖乖的站好。

　　齐春秋满意地点点头：“下午的讨论课还是任老师来上，到时候人会少很多。现在先去吃饭吧，有问题下午再讨论。”

　　一旁的夏冬走上前，递上了几张餐券：“食堂在会议厅西边，走到底就是。你们拿着餐券去吃就行。下午两点到一号楼的阶梯教室集合，中午你们可以自由在一高逛逛，或者直接到阶梯教室休息。你们齐老师我就先借走啦。”

　　齐春秋正要走，忽然想起什么，脚步一顿。

　　他本想嘱咐余生带着几人安分一点，但想了想她的性格——

　　你永远不知道她下一秒是会安安静静坐在角落里，还是突然站出来说点什么让所有人闭嘴的话。

　　目光在几个人身上扫了一圈，最后落在纪邵身上。

　　“纪邵，你中午带着他们几个去吃饭，然后回来休息。”

　　纪邵点了点头：“知道了，老师。”

　　齐春秋这才放心地跟夏冬走了。

　　余生看了眼纪邵，又看了眼自己。

　　“他刚刚是不是想让带我来着？怎么换成你了？”

　　纪邵心想，可能怕你去顶撞别人。毕竟你看起来就什么都不怕的样子。

　　但他没说出口，只说了句：“可能觉得我方向感比较好。”

　　余生撇了撇嘴，把笔记本随手塞进口袋里。

　　谭述在旁边小声嘀咕：“我怎么觉得是因为你看起来比较靠谱呢……”

　　余生回头看了她一眼。

　　谭述立刻闭嘴，加快脚步走到前面去了。